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异面直线所成的角与线面角
2026年高考数学一轮复习专题课件★★立体几何
题型一　 异面直线所成的角
√
状元笔记
1.求异面直线所成角θ的余弦值的思路
(1)选好基底或建立空间直角坐标系．
(2)求出两直线的方向向量v1，v2.
2．两异面直线所成角的关注点
当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角．
思考题1　如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E是DC的中点，将△DAE沿AE折起，使折后平面DAE⊥平面ABCE，如图2，则异面直线AE和BD所成角的余弦值为________．
【解析】　方法一：连接BE，易知AE⊥BE.取AE的中点O，连接OD，易知DO⊥平面ABCE.
方法二：如图，取AE的中点O，连接DO，BO，延长EC到F使EC＝CF，连接BF，DF，OF，易知BF∥AE，所以∠DBF为异面直线AE和DB所成角或它的补角．∵DA＝DE＝1，DA⊥DE，∴DO⊥AE，
又∵平面DAE⊥平面ABCE，平面DAE∩平面ABCE＝AE，DO 平面DAE，DO⊥AE，∴DO⊥平面ABCE.
∵BO 平面ABCE，∴DO⊥BO.
题型二　 定义法求线面角
如图，已知多面体ABC－A1B1C1，AA1，BB1，CC1均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，CC1＝1，AB＝BC＝BB1＝2.
(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1；
【答案】　(1)证明见解析　
【解析】　(1)证明：依题意，可知AA1⊥AB，AA1⊥AC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，CC1⊥BC，CC1⊥AC.由AB＝2，AA1＝4，BB1＝2，
所以AB12＋B1C12＝AC12，故AB1⊥B1C1.又因为A1B1∩B1C1＝B1，A1B1，B1C1 平面A1B1C1，所以AB1⊥平面A1B1C1.
(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．
【解析】　(2)方法一：如图，过点C1作C1D⊥A1B1，交直线A1B1的延长线于点D，连接AD.
由AB1⊥平面A1B1C1，AB1 平面ABB1，得平面A1B1C1⊥平面ABB1.
由C1D⊥A1B1，平面A1B1C1∩平面ABB1＝A1B1，C1D 平面A1B1C1，得C1D⊥平面ABB1.
所以∠C1AD即为AC1与平面ABB1所成的角．
方法二：由题知BB1⊥平面ABC，CC1⊥平面ABC，
∴BB1∥CC1，∵CC1 平面ABB1，BB1 平面ABB1，
∴CC1∥平面ABB1.过C点作CH⊥AB交AB的延长线于点H，易得CH⊥平面ABB1，
方法三：分别取AC，A1C1中点O，O1，连接OO1，OB.
由题知OB，OC，OO1两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．
在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，
状元笔记
　定义法求线面角的步骤
(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线，或过斜线上一点作平面的垂线，确定垂足的位置．
(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面内的射影，
斜线与其射影所成的锐角即为所求的角．
(3) 将该角归结为某个三角形的内角(一般是直角三角形)，通过解三角形(可能需要解多个三角形)求得该角或其三角函数值，如sin θ＝ .其中，θ为线面角，h为点B到平面α的距离，l为斜线段AB的长，如图．
思考题2　(2024·新课标Ⅱ卷)已知正三棱台ABC－A1B1C1的体积为 ，AB＝6，A1B1＝2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为(　　)
√
如图，设△ABC和△A1B1C1的中心分别为O，O1，连接A1O1，O1O，AO，作A1D⊥平面ABC交平面ABC于点D，由几何体ABC－A1B1C1为正三棱台可知，点D在AO上，且四边形A1O1OD为矩形，其中∠A1AD即为直线A1A与平面ABC所成的角．由AB＝6，A1B1＝2，
题型三　 向量法求线面角
(2024·上海) 如图，在正四棱锥P－ABCD中，O为底面ABCD的中心．
【答案】　(1)12π　
【解析】　(1)在正四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，且PO⊥底面ABCD，
∴Rt△AOP绕直角边PO旋转一周形成的几何体是底面半径为3，高为4的圆锥，
(2)若AP＝AD，E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小．
方法二：如图，连接OE，∵AP＝AD＝AB，E为PB的中点，∴PB⊥AE，同理，PB⊥CE，又AE∩CE＝E，AE，CE 平面AEC，
∴PB⊥平面AEC，∴∠BOE是BD与平面AEC所成的角．
状元笔记
　1.向量法求线面角
如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为
2．利用空间向量求空间角的步骤
(1)观察图形，建立恰当的空间直角坐标系．
(2)写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量．
(3)设出相应平面的法向量，利用两直线垂直，则相应的方向向量的数量积为0列出方程组，求出法向量．
(4)将空间位置关系转化为向量关系．
(5)根据定理结论求出相应的角．
思考题3　(2021·浙江) 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，PA＝ ，M，N分别为BC，PC的中点，PD⊥DC，PM⊥MD.
(1)证明：AB⊥PM；
【答案】　(1)证明见解析　
【解析】　(1)证明：因为底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，BC＝4，AB＝1，且M为BC的中点，
所以CM＝2，CD＝1，∠DCM＝60°，
易得CD⊥DM.
又PD⊥DC，且PD∩DM＝D，PD，DM 平面PDM，
所以CD⊥平面PDM.
因为AB∥CD，所以AB⊥平面PDM.
又PM 平面PDM，
所以AB⊥PM.
(2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值．
【解析】　(2)方法一：因为PM⊥MD，PM⊥DC，MD∩DC＝D，
所以PM⊥平面ABCD.
连接AM，则PM⊥AM.
因为∠ABC＝120°，AB＝1，BM＝2，
由(1)知CD⊥DM，过点M作ME∥CD交AD于
点E，则ME⊥MD，MD，ME，MP两两垂直．
故以M为坐标原点，MD，ME，MP所在直线
分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
方法二：由(1)知AB⊥平面PDM，
所以∠BAN为直线AN与平面PDM所成角的余角．
连接AM，因为PM⊥MD，PM⊥DC，MD∩DC＝D，
所以PM⊥平面ABCD，所以PM⊥AM.
因为∠ABC＝120°，AB＝1，BM＝2，
在△PAC中，结合余弦定理得PA2＋AC2＝2AN2＋2PN2，

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