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2025—2026学年八年级上学期期中模拟卷【杭州专用】
数 学
（测试范围：八年级上册浙教版2024，第1-3章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．若不等式的解集为，则以下数轴表示中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，已知点在上，点在上，，，，则的长为（ ）
A．7 B．5 C．12 D．6
3．若，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，的面积是24．当长度最小时，的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，，是边上的高，若，分别是和上的动点，则的最小值是（ ）

A． B． C． D．
7．如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点M，N，连接，分别与边，BC相交于点D，E，若，的周长为17，则BC的长为（ ）
A．7 B．10 C．12 D．17
8．如图，在与中，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，数轴上点和点分别表示数和，则下列式子错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，中，点、分别在、的延长线上，、的角平分线、交于点，过点作于点，于点，连结．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，.若，，则中边的长是 .
12．若关于x的不等式组有解且仅有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则满足条件的所有整数a的值的和为 ．
13．如图，在中，，，平分，是中点，若，则的长为
14．如图，在等腰中，，垂直平分，为上的动点，为上一动点，若．等腰的面积为8．则的最小值为 ．
15．如图，等腰三角形的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点．则的周长的最小值为 ．
16．如图，，有下列条件：①，②，③，④．补充其中一个条件后，不能直接判定的是 （填序号）．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．解不等式组：
18．和按如图方式摆放，，，．
(1)试判断与的数量关系，并说明理由．
(2)已知，当三点共线时，求的度数．
19．如图，我市在三角形公园旁修建了两条骑行线路：①；②．经勘测，点A在点B的正西方5千米处，点C在点B的正南方，点A在点C的北偏西方向，点D在点C的正南方10千米处，点E在点D的正西方，点A在点E的北偏东方向．（参考数据：，）
(1)求的长度．（结果精确到1千米）
(2)由于时间原因，小渝决定选择一条较短线路骑行，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？
20．如图，在中，，，垂足为，，垂足为，与相交于点．
(1)试判断线段与的数量关系，并说明理由；
(2)若，试猜想线段与有何数量关系，并说明理由．
21．如图，已知中，平分交于点，于E．
(1)若，，求的度数．
(2)若，，求的度数．
22．如图，，，，与交于点M．
(1)求证：；
(2)连，若，试求的度数．
23．多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受消费者的喜爱，在新品上市促销活动中，已知8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元，6台A型早餐机和1台B型早餐机需要600元．
(1)每台A型早餐机和每台B型早餐机的价格分别是多少元？
(2)某商家欲购进A，B两种型号早餐机至少20台，且A型早餐机比B型早餐机多4台，但总费用不超过2200元，请你通过计算求出该商家有哪几种购置方案？
(3)在（2）的方案中，哪种购置才能使所需总费用最低，最低费用是多少？
24．定义：过三角形的一个顶点作射线与其对边相交，将这个三角形分成的两个三角形中有等腰三角形，那么这条射线就叫做原三角形的“等腰分割线”．
(1)在中，．
①如图1，若O为的中点，则射线 的等腰分割线；(填“是”或“不是”)
②如图2，已知的一条等腰分割线交边于点P，且，请求出的长度．
(2)如图3，中，为边上的高，F为的中点，过点F的直线l交于点E，作，垂足为M，N， ，且．若射线为的“等腰分割线”，求的最大值．2025—2026学年八年级上学期期中模拟卷【杭州专用】
数 学
（测试范围：八年级上册浙教版2024，第1-3章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D C B D B C C D
1．D
本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”．用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．据此求解即可．
解：在数轴上表示如下：
故选：D．
2．A
本题考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质得出，，结合计算即可得解．
解：∵点在上，点在上，，
∴，，
∴．
故选：A．
3．D
本题主要考查了不等式的性质，不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向；据此逐一判断即可．
解：A、由，可得，原式不成立，不符合题意；
B、由，不一定能得到，例如，但是，原式不一定成立，不符合题意；
C、由，不一定能得到，例如，但是，原式不一定成立，不符合题意；
D、由，可得，原式一定成立，符合题意；
故选：D．
4．C
本题考查了垂线段最短，角平分线的尺规作图及性质，全等三角形性质与判定，勾股定理，熟练掌握角平分线性质是解题的关键．
由垂线段最短可知，当时，长度最小，由作图过程可知平分，结合角平分线性质得到，证明，利用全等三角形性质得到，根据勾股定理求出，设，则，在中，根据勾股定理列方程求出，最后利用三角形面积公式求解，即可解题．
解：由垂线段最短可知，当时，长度最小，
由作图过程可知平分，
，
，
，
，
，
，
，，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，即，
解得：，
，
，
故选：C．
5．B
在上截取，连接，利用可证得，于是可得，，根据垂线段最短可知，当点、、在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小，然后根据各角之间的和差关系即可求出结果．
解：在上截取，连接，如图所示：
平分，，
，
在和中，
，
，
，，
，
垂线段最短，
当点、、在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小，如图，，
，
，
，
，
故选：B．
本题主要考查了利用垂线段最短解决最短路线问题，涉及角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，直角三角形的两个锐角互余等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形，利用垂线段最短解决最短路线问题是解题的关键．
6．D
本题考查了线段垂直平分线的性质、垂线段最短、等腰三角形的性质以及三角形的面积， 由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．利用点到直线垂线段最短找出的最小值为是解题的关键．
解：∵，是边上的高，
∴垂直平分，
∴，
过点B作于点Q，交于点P，
则此时取最小值，最小值为的长，如图所示．
∵，
∴．
故选：D．
7．B
本题考查了尺规作图作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，由作图可知是的垂直平分线，得，再根据的周长得，进而可求解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
解：由题意可知，是的垂直平分线，
∴ ，
∵，的周长 ，
即： ，
∴ ，
故选：B．
8．C
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）是解题的关键．通过证明两个三角形全等，得出角的关系，进而求出的度数．
解：在和中，
，，，
，
，
又，
，
故选：C．
9．C
本题考查了数轴表示有理数，有理数的混合运算等知识点，正确判断的大小以及正负是解题的关键．
先根据数轴得到，再判断，，即可判断各选项．
解：由数轴可得，
故A正确，
∴，，
故B正确，
∴，
故C错误，
∵，
∴，
∴，
故D正确，
故选C．
10．D
对于①，利用角平分线的性质证明，从而得出平分；对于②，通过四边形内角和定理进行角度推导，得到；对于③，通过证明得到，，从而得出结论；对于④，利用和角平分线性质进行角度关系的推导．
①过点作于点
平分平分
又
平分．故①正确；
②
．故②错误；
③平分
在和中，
,
同理可得
．故③正确；
④是的外角，
，
．故④正确．
故答案选D
本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、四边形内角和定理及三角形外角性质．通过作辅助线，构造全等三角形，利用角平分线性质进行角度和线段关系的推导是解题的关键．
11．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，结合图形计算，得到答案．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
12．9
本题考查解一元一次方程组、解分式方程，理解一元一次不等式组的解和分式方程的解是解答的关键．先求得每个一元一次不等式的解集，再根据不等式组的解集得到a的不等式，进而可求得a的取值范围；再解分式方程，再根据分式方程的解，以及a的取值条件可得到a的取值，进而求和即可解答．
解：解第一个不等式得：，
解第二个不等式得：，
∵原不等式组有解且仅有两个奇数解，
∴这两个奇数解为，，
∴，
解得：，
原分式方程去分母得：，
解得：，
∵原分式方程的解为非负整数，∴且为整数，解得且为奇数，
∴，即且a为整数，
∴或3或5，
则，
故答案为：9．
13．
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，由直角三角形的性质可得，即得，得到，再根据直角三角形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵点是中点，
∴，
故答案为：．
14．4
本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短，垂线段最短，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短是解题的关键．连接，交于点，连接，结合垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，进一步可求的最小值．
解：如图，连接，交于点，连接，
∵直线垂直平分，
∴ ，
∵垂线段最短，
∴的最小值为线段，且此时，
∴点为的中点，而，
∴，
∴，
即：，解得，
∴的最小值为.
故答案为：4．
15．
本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．如图，连接，由垂直平分线得到，推出的长为的最小值即可解答．
解：如图，连接，，
∵是等腰三角形，点D为底边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴的长为的最小值，
∴的周长的最小值为．
故答案为：11．
16．②
本题考查添加条件使三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键，根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可．
解：∵，，
∴当时，利用可以证明；
当时，利用可以证明；
当时，利用可以证明；
当时，无法判定；
综上只有②不能直接判定；
故答案为：②．
17．
本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
解：
解①得：
解②得：
故不等式组的解集为：.
18．(1)，理由见解析；
(2)．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）先得到，然后通过“”证明，再由全等三角形的性质即可求解；
（）由（）知，则，从而可得，通过角度和差可得，最后由三角形内角和定理即可求解．
（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由（）知，
∴，
∴
∵，
∴
∵，
∴．
19．(1)
(2)选择②
本题主要考查了解直角三角形的应用，方向角问题，根据已知条件添加辅助线是解题的关键．
（1）过点作，交的延长线于点，根据垂直的定义得到，证明四边形是矩形，根据解直角三角形的相关计算进行计算即可得到答案；
（2）先求出的长，再利用勾股定理求出，最后分别求出路线①与②的总路程并比较大小即可．
（1）解：过点作，交的延长线于点，
，
根据题意得：，
四边形是矩形，
，
在中，
∴（千米），
（千米），
（千米），
在中，，
∴,,
即
或（不符合题意，舍去），
（千米）；
（2）解：应该选择路线②，理由如下；
在中，（千米），
，
，
∴,
路线①总路程（千米），
路线②总路程（千米），
，
故选路线②．
20．(1)，理由见解析；
(2)，理由见解析．
此题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用方法是解题的关键．
（）先利用等角对等边得出，再证出，进而判断出，即可得出结论；
（）先根据三角形的内角和求出，得出，进而判断出，即可得出结论．
（1）解：，理由如下，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，理由：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（）知，，
∴
21．(1)
(2)
本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是明确三角形的内角和为．
（1）根据三角形的内角和，角平分线定义和直角三角形两个锐角互余可得结果．
（2）根据三角形的内角和，角平分线定义和直角三角形两个锐角互余可得结果．
（1）解：，
．
，
．
，
．
平分，
，
，
．
（2）解：，
．
∵，
∴，
∵，
∴，
平分，
．
∴．
22．(1)见解析
(2)
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是：
（1）根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证；
（2）设、相交于O，过C作于P，于Q，根据全等三角形的性质可得出，，根据等积法可得出，根据角平分线的判定可得出平分，根据三角形外角的性质并结合可求出，进而求出，最后根据角平分线的定义求解即可．
（1）证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图，设、相交于O，过C作于P，于Q，
∵，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴平分，
∵，，，
∴，
∴，
又平分，
∴．
23．(1)每台A型早餐机的价格是80元，每台B型早餐机的价格是120元
(2)该商家有两种购置方案，方案1：购进12台A型早餐机，8台B型早餐机；方案2：购进13台A型早餐机，9台B型早餐机
(3)购进12台A型早餐机，8台B型早餐机时所需总费用最低，最低费用是1920元
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；根据各数量之间的关系，求出选择各方案所需总费用；
（1）设每台型早餐机的价格是元，每台型早餐机的价格是元，根据“8台型早餐机和3台型早餐机需要1000元，6台型早餐机和1台型早餐机需要600元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进台型早餐机，则购进台型早餐机，根据“商家欲购进，两种型号早餐机至少20台，且总费用不超过2200元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购置方案；
（3）利用总价单价数量，可求出选择各方案所需总费用，比较后，即可得出结论．
（1）解：设每台型早餐机的价格是元，每台型早餐机的价格是元，
根据题意得：，
解得：．
答：每台型早餐机的价格是80元，每台型早餐机的价格是120元；
（2）解：设购进台型早餐机，则购进台型早餐机，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的值可以是8，9，
该商场有两种购置方案，
方案1：购进12台型早餐机，8台型早餐机；
方案2：购进13台型早餐机，9台型早餐机；
（3）解：选择方案1的总费用为（元）
选择方案2的总费用为（元）
，
在（2）的方案中，购进12台型早餐机，8台型早餐机时所需总费用最低，最低费用是1920元．
24．(1)①是 ②
(2)的最大值为8
(1)①由直角三角形的性质得出，则可得出结论；
②设，由勾股定理得出，解方程可得出答案；
(2)过点A作于点G．由勾股定理求出，证明，由全等三角形的性质得出．由直角三角形的性质可得出，据此计算则可得出答案．
（1）解∶①∵中，，O是的中点，
∴，
∴均为等腰三角形，
∴射线是的等腰分割线，
故答案为∶是；
②设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴；
（2）解：如图3，过点A作于点G．
∵为边上的高，
∴．
∵，
∴不是等腰三角形．
∵为的“等腰分割线”，
∴是等腰三角形，且．
∵，
∴，
∵于M，
∴．
∵F为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴的最大值为8
本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．(共5张PPT)
浙教版2024八年级上册
八年级数学上学期期中模拟卷
【杭州专用】试卷分析
知识点分布
一、单选题 1 0.94 在数轴上表示不等式的解集
2 0.85 全等三角形的性质
3 0.84 不等式的性质
4 0.75 角平分线的性质定理；用勾股定理解三角形；全等的性质和HL综合（HL）；作角平分线(尺规作图)
5 0.75 垂线段最短；全等的性质和SAS综合（SAS）；角平分线的有关计算；直角三角形的两个锐角互余
6 0.65 线段垂直平分线的性质；三线合一；垂线段最短
7 0.65 线段垂直平分线的性质
8 0.64 全等的性质和SSS综合（SSS）
9 0.64 根据点在数轴的位置判断式子的正负；两个有理数的乘法运算；绝对值的几何意义；不等式的性质
10 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；与角平分线有关的三角形内角和问题；全等三角形综合问题；角平分线的性质定理
知识点分布
二、填空题 11 0.85 全等三角形的性质
12 0.75 根据分式方程解的情况求值；由不等式组解集的情况求参数；解分式方程（化为一元一次）
13 0.65 根据等角对等边求边长；斜边的中线等于斜边的一半；角平分线的有关计算；直角三角形的两个锐角互余
14 0.65 线段垂直平分线的性质；三线合一；垂线段最短
15 0.64 线段垂直平分线的性质
16 0.55 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
知识点分布
三、解答题 17 0.85 求不等式组的解集
18 0.75 三角形内角和定理的应用；全等的性质和SAS综合（SAS）
19 0.65 与方向角有关的计算题；用勾股定理解三角形
20 0.65 三角形内角和定理的应用；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等腰三角形的性质和判定
21 0.65 与角平分线有关的三角形内角和问题；直角三角形的两个锐角互余；垂线的定义理解
22 0.64 全等的性质和SAS综合（SAS）；角平分线的判定定理；三角形的外角的定义及性质
23 0.64 销售、利润问题(二元一次方程组的应用)；用一元一次不等式解决实际问题；方案问题(二元一次方程组的应用)
24 0.15 等腰三角形的性质和判定；斜边的中线等于斜边的一半；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；用勾股定理解三角形

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