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北京市顺义区顺义区第九中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．空间向量（ ）
A． B． C． D．
2．在空间直角坐标系中，已知点，，则线段的中点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．若表示不同的平面，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定
4．已知空间向量，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．在棱长为2的正方体中，（ ）
A． B． C．2 D．4
6．已知，，若，则实数，的值分别为（ ）
A．， B．， C．5，2 D．，
7．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
8．已知A（0，0，1），B（3，0，0），C（0，2，0），则原点到平面ABC的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
9．如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
10．在棱长为2的正方体中，E为的中点，点P在底面上移动，且满足，则线段的长度的最大值为( )
A．2 B．3 C． D．
二、填空题
11．已知，，，若，则的值为 .
12．设，，向量，则 ；点C的坐标为 .
13．在空间直角坐标系O-xyz中，已知平面α的一个法向量是，且平面α过点A(0,3,1).若P(x,y,z)是平面α上任意一点，则点P的坐标满足的方程是 .
14．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在线段上运动，给出下列四个结论：
①点与点间的距离为3；
②直线到平面的距离是；
③存在点，使得；
④△面积的最小值是.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题
15．如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD；，E是PC的中点.

(1)证明：平面BDE
(2)求BC与平面BDE成角的正弦值.
(3)求平面BDA与平面BDE夹角的余弦值
16．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，，．
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若，求PB与AC所成角的余弦值；
(3)当平面PBC与平面PCD垂直时，求PA的长．
试卷第2页，共3页
试卷第3页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A D D A A B B B
11．
12．，
13．
14．①③
15．
（1）连接交于点，
因为分别是的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）

因为底面，且底面是正方形，
所以以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，
取，则，则，
设直线与平面的夹角为，
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）由题意得平面的法向量，
设平面与平面的夹角为，
则.
所以平面与平面夹角的余弦值为.
16．
（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，
所以，
又因为平面，
所以，
又
所以平面.
（2）设，
因为，，
所以，，
如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，， ，
所以，
设与所成角为，则；
（3）由（Ⅱ）知，
设，则，
设平面的一个法向量，
则，，所以，
令，则，，
所以
同理平面的一个法向量，
因为平面平面，
所以，即，
解得，所以.
答案第2页，共3页
答案第3页，共3页

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