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2025-2026学年四川省成都市四川天府新区综合高级中学高二上学期第一阶段学业水平模拟测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.为了了解某地参加计算机水平测试的名学生的成绩，从中抽取了名学生进行调查分析在这个问题中，被抽取的名学生是( )
A. 个体 B. 样本 C. 总体 D. 样本量
2.空间直角坐标系中，点是点在坐标平面内的射影，则( )
A. B. C. D.
3.演讲比赛共有位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从个原始评分中去掉个最高分、个最低分，得到个有效评分个有效评分与个原始评分相比，不变的数字特征是
A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差
4.如图，在四面体中，点在上，且为中点，则等于( )
A. B.
C. D.
5.本学期某校举行了有关垃圾分类知识竞赛，随机抽取了名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在分至分之间，进行适当分组后每组为左闭右开的区间，画出频率分布直方图如图所示，则( )
A. 图中的值为 B. 估计样本数据的众数值为
C. 估计样本数据的第分位数为 D. 估计样本数据的平均数大于中位数
6.是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
7.四名同学各掷骰子次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数的是( )
A. 平均数为，中位数为 B. 平均数为，方差为
C. 中位数为，众数为 D. 中位数为，方差为
8.阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设正实数，满足，则( )
A. 有最大值 B. 有最大值
C. 有最大值 D. 有最小值
10.已知空间向量，，，且，则下列说法正确的有( )
A. B.
C. D.
11.如图是某市年月至月全社会用电量单位：亿千瓦时的折线图，则( )
A. 月至月全社会用电量逐月增加
B. 月至月全社会用电量的极差是
C. 月至月全社会用电量的第百分位数是
D. 月至月全社会用电量的方差比月至月的方差大
12.在长方体中，，，为的中点．动点满足，，，则下列说法正确的是( )
A. 点一定在平面内
B. 当时，点的轨迹长度为
C. 当，，三点共线时，
D. 当时，的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
13.若向量，，满足条件，则 ．
14.某学校共有教师人，其中不到岁的有人，岁及以上的有人，为了了解普通话在该校教师中的推广普及情况，用分层随机抽样的方法，从全体教师中抽取一个容量为人的样本进行普通话水平测试，其中在不到岁的教师中应抽取的人数是 ．
15.如图所示，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，沿棱柱表面，从到的最短路径长为
四、解答题：本题共5小题，共71分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数，设每名学生的阅读本数为，并按以下规定分为四档：当时，为“偏少”；当时，为“一般”；当时，为“良好”；当时，为“优秀”，现将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表：

阅读本数本
人数名
请根据以上信息回答下列问题：
求出本次随机抽取的学生总人数；
分别求出统计表中的的值；
估计该校九年级名学生中为“优秀”档次的人数．
17.本小题分
已知空间三点，，．
求以，为邻边的平行四边形的面积；
若向量分别与，垂直，且，求向量的坐标．
18.本小题分
如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且求：
的长；
直线与所成角的余弦值．
19.本小题分
庙山中学在对高一年级学生身高的调查中，根据男、女学生所占的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生名和女生名，测量他们的身高所得数据单位：如下：
性别 人数 平均数 方差
男生
女生
请根据以上数据，计算出该校高一年级学生身高的总样本平均数与总样本方差；
已知总体划分为层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，；，，，记总样本平均数为，总样本方差为利用以上数据，直接写出总样本方差的表达式不要求写出推理过程；
庙山中学采用分层随机抽样采集了高一、高二、高三年级学生的身高情况，部分调查数据如下：
样本量 样本平均数 样本方差
高一
高二
高三
利用的表达式，求三个年级的总样本方差．
20.本小题分
在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是，且它们所在的平面互相垂直活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．
求证：；
为何值时，的长最小
当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值．
参考答案
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16.【详解】由统计图表可知：当时，“一般”档次占比，对应的学生数为，故学生总人数为人；
由统计图表可知：当时，“良好”档次占比，即，解得，
又总人数为人，故，即，；
由统计图表可知：“优秀”档次占比为，
故该校九年级名学生中为“优秀”档次的人数约为人

17.【详解】由，，
得，，
所以，由，得，
．
设，
由或
或．

18.【详解】
因为，
所以
．
，
，
，
，
所以，
因为直线与所成角，
所以直线与所成角的余弦值为．

19.【详解】设总样本容量为，第组数据有个，即为，
其平均数为，方差为，频率为，
则，可得，
所以总样本平均数，
又因为
所以总样本方差，
因为，
总样本平均数，
总样本方差；
因为，
总样本平均数为，
总样本方差为．
因为，
总样本平均数为，
总样本方差为．

20.【详解】证明：因为平面平面，
且平面平面，
又四边形为正方形，所以，
所以平面，又平面，
所以．
因为四边形为正方形，所以，由知，，
所以以点为坐标原点，分别以为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系如图，则，，，，，，
因为正方形，的边长都是，所以，
又，
所以，，
所以
所以当时，
因为取最小时，，所以，，
所以，，，
设平面的法向量为，
所以，即，取，所以，
所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，
所以，即，取，所以，
所以平面的法向量为，
设平面与平面夹角为，
所以．
即平面与平面夹角的余弦值为．

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