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2025-2026学年山东省淄博市临淄中学高二上学期10月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则实数的值是( )
A. B. C. D.
3.甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为，，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为( )
A. B. C. D.
4.已知向量与共线，则( )
A. B. C. D.
5.已知空间中三点，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
6.若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则( )
A. B. C. D. 或
7.已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，不在该平面上，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.某校高二年级学生举行中国象棋比赛，经过初赛，最后确定甲、乙、丙三位同学进入决赛决赛规则如下，累计负两场者被淘汰，比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，最后的胜者获得冠军，比赛结束若经抽签，已知第一场甲，乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都为，则( )
A. 甲获得冠军的概率最大 B. 甲与乙获得冠军的概率都比丙大
C. 丙获得冠军的概率最大 D. 甲、乙、丙每人获得冠军的概率都一样大
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设为两个事件，且，下列说法正确的有( )
A. 若互斥，则 B. 若互斥，则
C. 若独立，则 D. 若独立，则
10.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 已知两个向量，且，则
B. 已知，则在上的投影向量为
C. 设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面
11.如图，正方体的棱长为，是棱上的动点，且则下列结论正确的是( )
A.
B. 点到直线的距离为
C. 直线与所成角的范围为
D. 二面角的大小为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若向量、的夹角为钝角，则实数的取值范围是 ．
13.从甲、乙等名同学中随机选名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
14.如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，则长度为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，．
若，求的值；
若，求实数的值．
16.本小题分
如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，设．
试用 表示向量，，
求；
17.本小题分
“体育强则中国强，国运兴则体育兴”为备战年杭州举办的国际射联射击世界杯，某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中环、中环或环、中环或环、其他情况，分别评定为，，，四个等级，各等级依次奖励分、分、分、分．假设评定为等级，，的概率分别是，，．
若某射击选手射击一次，求其得分低于分的概率；
若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为分的概率．
18.本小题分
如图，在三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，点，分别为和的中点．
求异面直线与所成角的余弦值；
求与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
如图，在三棱锥，，，，分别为，的中点．
求直线与平面所成角的正弦值；
给出以下定义：与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，公垂线被这两条异面直线截取的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．根据以上定义可知，公垂线段的长度也可以看作是两条异面直线上任意两点连线的方向向量在公垂线的方向向量上的投影向量的长度．
请根据以上定义和理解，求异面直线，的距离．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：由已知可得，，
．
，，
，存在实数使得，
，，，联立解得．

16.解：，
．
因为，
所以，
，

，
所以．

17.解：设事件，，，分别表示“被评定为等级，，，”
由题意得，事件，，，两两互斥，所以．
所以．
因此其得分低于分的概率为；
设事件，，，表示“”第次被评定为等级，，，，．
则“两次射击得分之和为分”为事件，
且事件，，互斥，，，
所以两次射击得分之和为分的概率．

18.解：证明：以点为坐标原点，分别以直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，于是，，，．
，，
设异面直线与所成角为，则
．
异面直线与所成角的余弦值为．
，，，，
设是平面的一个法向量，则
，取，
设向量和向量的夹角为，
则，
与平面所成角的正弦值为．

19.解：连接，，由题知，是等腰三角形底边上的中线，
．
同理，平面，．
同理，平面
作平面，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系．
由题知，，，
，，，，，．
设是平面的法向量，则
即，取
，
直线与平面所成角的正弦值为
设是异面直线，的公垂线的方向向量，
由，同可求得
由题知，异面直线，的距离等于在方向上的投影向量的长度，即
．
异面直线，的距离

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