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2025-2026学年上海市顾村中学高二上学期10月月考数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中真命题是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，，则
2.在三棱锥中，若，，那么必有( )
A. 平面平面 B. 平面平面
C. 平面平面 D. 平面平面
3.已知正方体中，点为的中点，点为的中点，则平面截正方体形成的截面图形为( )
A. 六边形 B. 五边形 C. 四边形 D. 三角形
4.已知正方体，点，，分别是线段，和上的动点，观察直线与，与给出下列结论：
对于任意给定的点，存在点，使得；
对于任意给定的点，存在点，使得；
对于任意给定的点，存在点，使得；
对于任意给定的点，存在定点，使得．
其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.若点与直线确定一个平面，则点与直线的位置关系是点 直线用“”、“”、“”填空
6.若与的两边分别平行，且，则 ．
7.正方体的条棱中，与异面的棱有 条．
8.如果一条直线和两条异面直线中的一条平行，那么它和另一条直线的位置关系是 ．
9.正方体的个面中，所在平面与平面垂直的面的个数为 ．
10.已知的直观图恰好是直角边长为的等腰直角三角形，，那么的面积为 ．
11.已知、、、为空间四边形的边、、、上的点，若， ，则四边形形状为 ．
12.如图，在长方体中，，，则直线与平面所成的角的大小为 ．
13.在二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是，则这个点到二面角的棱的距离为 ．
14.如图，在四面体中，，直线与直线所成的角为，分别为的中点则直线和直线所成角的大小为 ．
15.下列命题中的假命题为 ．
没有公共点的两平面平行；
已知平面，直线，若，且，则；
已知平面，直线，若，，且与不平行，，则与异面；
若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行．
16.如图，已知一个二面角的平面角为，它的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，则线段的长为 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在正方体中，、分别为与的中点
作出平面与平面的交线，并写出作图步骤；
求证：四点共面
18.本小题分
如图，在四面体中，，，分别为的中点
求证：直线和为异面直线．
求直线和所成角的大小．
19.本小题分
如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面．
求证：平面；
求证：平面平面．
20.本小题分
如图，已知点为平面外一点．
若为边长为的等边三角形，，求直线与平面所成角：
若直线和平面所成角的大小之比为，而它们的长度之比为分别求斜线段和平面所成角的大小．
21.本小题分
如图，在四棱锥中，是边长为的等边三角形，平面平面，点为的中点，点在棱上，直线平面．
证明：平面；
求的值；
设二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.或
7.
8.异面或相交
9.
10.
11.梯形
12.
13.
14.或
15.
16.
17.【详解】连接交于，则为所求交线；
连接，
因为，知为平行四边形，则，
因为分别为与的中点，由中位线知，所以，
所以四点共面．

18.【详解】由平面，故平面，而平面，，
又平面，故平面，故直线和为异面直线；
取中点，连接、，由于、分别为、的中点，
所以，且，
故直线和所成角，即或其补角，
因为，故，因为，故，故，
所以直线和所成角为．

19.【详解】由于分别为棱的中点，故，
又平面，且不在平面上，
所以平面；
由于平面，且平面，故，
又，且为棱的中点，故，
因为，平面，故平面，
又平面，故平面平面．

20.【详解】
过作平面，连接，
故为直线与平面所成角，
由于，为公共边，
又平面，且平面，
故，
所以由勾股定理可知：
故为的外心，
又因为为等边三角形，故为的重心，
故，
由于平面，且平面，故，
故，而为锐角，故，
连接，故为直线与平面所成角，
由于直线和平面所成角的大小之比为
故，
又，
且，
故，
即，
又因为，故
故，
因此，
．

21.【详解】
如图，连接，因为为等边三角形，是的中点，所以，
又平面平面，平面，平面平面，
所以平面．
连接交于点，连接，
因为平面，平面，平面平面，
所以，则，
因为，，所以，故．
如图，取的中点，
因为平面，平面，所以，．
又分别是的中点，所以，
由，得，
因为，平面，所以平面，
因为平面，则，
所以是二面角的平面角，即．
因为是边长为的等边三角形，所以．
设，则，，得
过作交于，连接，由平面，得平面，
所以为直线与平面所成的角，即．
由得，，
在中，．
在中，由余弦定理可得，
所以，
所以
因为，所以
所以的取值范围为．

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