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2025-2026学年上海市曹杨第二中学高二上学期第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线经过点，且的一个法向量，则的方程为( )
A. B. C. D.
2.已知，，点，，动点在轴上，设直线、的斜率分别为，当取最小值时，满足( )
A. B. C. D.
3.定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为的实数，使得已知，则的充分条件是( )
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，对于及直线，记、、分别表示到的距离，且对于给定的，记的最小值为给出以下两个命题：若直线使得，则过的内心；存在，使得满足的直线至少有两条．则下列说法正确的是( )
A. 均正确 B. 均错误 C. 正确错误 D. 错误正确
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.半径为的球的表面积为 ．
6.如图，直线、、的斜率、、由小到大排序为 ．
7.已知，则 ．
8.若圆的方程为，则实数的取值范围为 ．
9.已知为常数，若直线与直线的夹角为，则 ．
10.已知，向量，，，若、、是共面向量，则 ．
11.已知点，，，过点的直线斜率为，若直线与线段相交，则实数的取值范围是 ．
12.已知为常数，若直线与直线平行，则 ．
13.顶点为的圆锥的母线长为，底面半径为，是底面圆周上的两点，为底面中心，且，则在圆锥侧面上由点到点的最短路线长为 精确到
14.如图，为坐标原点，在轴上，，，，若及其内部绕轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为 ．
15.对给定的两点和，用以下方式定义“直角距离”：已知，点在圆：上运动，若点满足，则的最大值为 ．
16.已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知向量，，．
若，求的值；
求函数，的单调增区间．
18.本小题分
已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为．
求顶点的坐标；
求点到直线的距离．
19.本小题分
如图，在底面是菱形的四棱锥中，底面，，是棱上一点，且．
求二面角的大小；
在棱上是否存在一点，使得平面？证明你的结论．
20.本小题分
如图，长方体中，，，点是棱的中点．

求异面直线与所成的角的大小；
是否存在实数，使得直线与平面垂直？并说明理由；
若设是线段上的一点不含端点，满足，求的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等．
21.本小题分
已知为常数．在平面直角坐标系中，直线．
若直线的一个法向量为，求直线的斜率及倾斜角；
若，，直线与及轴的交点都在轴右侧，且与、轴及轴围成的四边形面积为证明：直线过定点，并求出该定点．
若，，直线为关于轴的对称直线，直线与的交点分别在第一、四象限，与轴交于点是否存在使的面积为，且若存在求出直线的斜率，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.或
10.
11.
12.或
13.
14.
15.
16.
17.【详解】因为，
则．
若，则，
可得或．
解得或．
所以或．
因为，
令时，解得，
可知函数的单调递增区间为
因为，所以令时，；令时，；
所以函数在上的单调递增区间为和．

18.【详解】由题意可知直线，即，
直线，则，
，则直线，即，
联立方程组得，解得
即得．
点在直线上，设点，
则中点在直线上，
则，解得，即，
由可得点到直线的距离．


19.【详解】取的中点为，连接，
在底面为菱形的四棱锥中，底面，，
所以为等边三角形，
，，
又，所以，
以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
因为点在上，且，
，
设平面的法向量为，
则，取，得，
平面的法向量为，
设二面角的大小为，为锐角
则，所以，
则二面角的大小为；
设在棱上存在点，且，使得平面，
则，解得，所以，
，，
因为平面的法向量，平面，
，
解得，
则在棱上存在一点，此时为的中点，使得平面．

20.【详解】连接，由四边形为正方形，可得，
在长方体中，平面，
又平面，所以．
因为，平面，所以平面，
又平面，所以，
即异面直线与所成的角的大小为；
存在实数，使得直线直线与平面垂直．理由如下：
当时，，
因为，所以，所以，则，
所以，即，
在长方体中，平面，
又平面，所以．
因为，所以平面，
又平面，所以．
同理可证，又，
所以直线平面；
设与平面的斜足为，
因为，，
所以，则．
若，则，故．
所以在线段上取一点，要使三棱锥与三棱锥的体积相等，则为的中点，即．

21.【详解】易知，其法向量为，则，
所以，即该直线的斜率为，倾斜角为；
设，直线与及轴的交点分别为，与轴交于点，
易知此时，则，，
显然四边形为直角梯形，其面积为，
所以，故时，恒有，即过定点；
设，则易知，
因为直线与相交，所以，
联立直线方程可知：，，
，
，
若存在满足条件的直线，则有
则，整理得，即，与前提矛盾，
故不存在直线符合题意．

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