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2025-2026学年上海市吴淞中学高二上学期10月月考数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.给出下面四个命题，其中错误的命题个数是( )
三个不同的点确定一个平面； 一条直线和一个点确定一个平面；
空间两两相交的三条直线确定一个平面； 两条平行直线确定一个平面．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是( )
A. B. 异面直线所成的角为定值
C. 直线与平面所成角为定值 D. 三棱锥体积为定值．
3.如图一，矩形中，交对角线于点，交于点，现将沿翻折至的位置，如图二，点为棱的中点，则下列判断一定成立的是( )
A. B. 平面
C. 平面 D. 平面平面
4.已知中，，，为斜边上一动点，沿将三角形折起形成直二面角，记，当最短时，( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.正方体中，异面直线与所成角的大小为 ．
6.已知，，若与共线，则 ．
7.已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ．
8.如图所示，圆锥的底面圆半径，侧面的平面展开图的面积为，则此圆锥的体积为 ．
9.已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为 ．
10.一个上底面边长为，下底面边长为，高为的正四棱台的体积为 ．
11.已知点均在半径为的球面上，是边长为的等边三角形，平面，则 ．
12.如图，在棱长为的正方体中，的中点是，过直线作与平面平行的截面，则该截面的面积为 ．
13.一个圆柱形容器内放一个实心圆锥同底等高，得到如图所示的容器，其体积为现从上往下向容器内注水，当水位恰好在圆柱母线中点处时，记所注水的体积为，则 ．
14.已知四棱锥的个顶点都在球的球面上，且平面，则球的表面积为 ．
15.如图，在棱长为的正方体中，点是对角线上的动点点与点，不重合给出下列结论：
存在点，使得平面平面；
对任意点，都有；
面积的最小值为；
若是平面与平面的夹角，是平面与平面的夹角，则对任意点，都有其中所有正确结论的序号是 ．
16.已知异面直线所成角为，直线与均垂直，且垂足分别是点若动点，则线段中点的轨迹围成的区域的面积是
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知直线过点
若直线的倾斜角为，求实数的值；
求直线的斜率．
18.本小题分
如图，四边形是圆柱的轴截面，是下底面圆周上一点，点是线段中点
证明：直线平面
若，三棱锥的体积．
19.本小题分
如图，是半球的直径，为球心，，，依次是半圆上的两个三等分点，是半球面上一点，且．
证明：平面平面；
若点在底面圆内的射影恰在上，求点到平面的距离．
20.本小题分
如图，在边长为的菱形中，，点，分别是边，的中点，，沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图所示的五棱锥．
在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；
当四棱锥体积最大时，求直线和平面所成角的正弦值；
在的条件下，在线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
在棱长均为的正三棱柱中，为的中点．过的截面与棱分别交于点，．

若为的中点，试确定点的位置，并说明理由；
在的条件下，求截面与底面所成锐二面角的正切值；
设截面的面积为，面积为，面积为，当点在棱上变动时，求的取值范围．
参考答案
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16.
17.【详解】由题设，可得，即；
由题设，当时，直线不存在斜率，
所以，则．

18.【详解】连接，令，连接，则是、的中点，
在中是线段中点，是的中点，
，又平面，平面，
直线平面；
设点到平面的距离为，
点在底面圆上，
，
，是的中点，
，，
因为是圆柱的轴截面，则到的距离，即到平面的距离，
所以．

19.【详解】证明：连接，如图，是半圆上的两个三等分点，
则有，
，
都是正三角形．
，
四边形是菱形，，
，平面，
平面，平面
平面平面．
由知，平面，
所以平面平面，平面平面，
则点在底面圆内的射影在上，
又点在底面圆内的射影在上，
点在底面圆内的射影是与的交点，
，
故，
在中，由余弦定理，可得，
故，故，
在中，，
故，
故．
由，可得，
即，所以，
点到平面的距离为．

20.【详解】在翻折过程中总有平面平面，
证明如下：点，分别是边，的中点，，
又因为菱形中，是等边三角形，
是的中点，，
菱形的对角线互相垂直，，，
，平面，平面，
平面，平面，平面，平面平面．
由题意知，四边形为等腰梯形，且，，，
所以等腰梯形的面积，
要使得四棱锥体积最大，只要点到平面的距离最大即可，
当平面时，点到平面的距离的最大值为，
此时四棱锥体积的最大值为，
连接，则直线和平面所成角的为，
在中，，，由勾股定理得：．
．
假设符合题意的点存在．
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
因为平面，故平面的一个法向量为，
设，，，
故，，，
平面的一个法向量为，则，，
即，令，所以
即，
则平面的一个法向量，设二面角的平面角为，
所以，解得：，
故符合题意的点存在，且为线段的中点．

21.【详解】在平面内延长，相交于点，则平面，又平面，
则有平面平面，，即，，三点共线．
因为为的中点，为的中点，所以，所以，又因为，所以，
所以，即点为棱上靠近点的三等分点．
在平面内延长，相交于点，连接，则平面平面，
在平面内作于点，则平面，
又平面，所以，
在平面内作于点，连接，
又平面，，所以平面，
平面，所以，
所以为截面与底面所成锐二面角的平面角．
在中，作于点，，，，，
，，
由余弦定理，则，
，可得，所以，
又，所以，
故截面与底面所成锐二面角的正切值为．
设，则，．
设的面积为，所以，
又因为，所以，且，
故，令，则，
设，
当时，，
，，，则，即，
所以在上单调递减，
所以，，所以，
所以．

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