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2025-2026学年山东省青岛第九中学高二上学期10月质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过两点的直线的倾斜角为，则的值为 ．
A. 或 B. C. D.
2.已知空间向量，，且在上的投影向量为，则的值为( )
A. B. C. D.
3.若是空间的一个基底，且向量，则叫向量在基底下的坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是( )
A. B. C. D.
4.在三棱锥中，若，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知实数满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知点为直线上位于第一象限内的动点，则下列结论正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
7.在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，定义：，其中，若，且，则下列结论错误的是( )
A. 若关于轴对称，则
B. 若关于直线对称，则
C. 若，则
D. 若，，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知三条直线能构成三角形，则实数可能为( )
A. B. C. D.
10.边长为的正方体中，向量，则( )
A. 若，则存在点，有
B. 若，则
C. 若，则的最小值为
D. 若，则三棱锥的体积为定值
11.如图，四面体中，是棱上的动点，是棱上的动点、不与四面体的顶点重合记与所成的角为与平面的所成的角为，平面与平面的夹角为，则的大小关系不可能是( )
注：平面与平面相交形成的四个二面角中，不大于的二面角称为平面与平面的夹角
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为 ．
13.如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱若二面角的平面角为，且，，则 ．
14.已知球的表面积为，正四面体的顶点均在球的表面上，球心为的外心，棱与球面交于点若平面平面平面平面且与之间的距离为同一定值，棱分别与交于点，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，．
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
16.本小题分
已知的三个顶点的坐标为、、．
求边的垂直平分线所在直线的截距式方程；
求的平分线所在直线的一般式方程；
17.本小题分
如图，在多面体中，，，都是边长为的等边三角形，平面平面，平面平面．
判断，，，四点是否共面，并说明理由；
在中，试在边的中线上确定一点，使得平面，并求．
18.本小题分
如图，点是边长为的等边内部不包括边任意一点，绕点逆时针旋转得到．

若，求；
若，求的周长；
求面积最大值．
19.本小题分
如图，正四棱锥中，是棱的中点，是底面的中心．过作平面与棱分别交于不同的点可以是端点．
求证：三线交于一点；
若．
求直线与平面所成角的正弦值；
求多面体的体积的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：依题意：以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
又分别是棱，，的中点，，．
所以，
所以有：，
设平面的法向量为，则有
所以，令，有，
设直线与平面所成角为，则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
因为，由有平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为：．

16.解：易知的中点为，
，边的垂直平分线的斜率为，
所以边的垂直平分线所在直线的一般式方程为：，
则截距式方程为．
因为，，
，，
，
即的平分线所在直线的一个方向向量为，
故的平分线所在直线的斜率为，
所以的平分线所在直线的一般式方程：．

17.解：，，，四点共面．理由如下：
如图，取的中点，连接，，取的中点，连接，
在多面体中，，，都是边长为的等边三角形，
则在等边三角形中，，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
同理，得平面，平面，
所以，，两两垂直，且，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
则，，，，，
设，由，即，
解得，，，所以，所以．
又，，所以，则共面，
因为为公共点，所以，，，四点共面．
如图，设，故．
若平面，则，，即，解得，
所以为中点时，平面．
当时，，又，，，
所以，，则．

18.解：绕点逆时针旋转得到，绕点逆时针旋转得到，为等边三角形．
．
，的外接圆半径，
设外接圆心，以为原点，射线为轴，建立直角坐标系，如图所示：

设与轴正方向所成的角为，点轨迹为圆弧不含端点．
，
，
解得，，
点坐标为，由于，所以点在圆弧不含端点上，符合题意．
由于为等边三角形，，
绕点逆时针旋转得到，，
求的周长即为求．
当点坐标为时，
，
所求的周长．
当点坐标为时，同理可得所求的周长．
所求的周长．
设，由于为等边三角形，
设，垂足为，则，
与以为圆心，以为半径的圆的部分弧相切，切点为．
如图所示：

设弧与交点为，，垂足为
则，当且仅当重合时，重合，此时，
．
当且，即恰好为中心时取到“等号”，
面积最大值为．

19.解：根据题意，，为定点，，为动点．
如图，连接．
在平面中，不妨设交于点，
因为平面，所以平面．
因为平面，所以平面．
因为平面平面，所以点也在上，
即三线交于一点．
因为，所以．
由已知四边形为正方形，易得．
以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则．
所以．
设平面的法向量为，
则，即．
取，得，
即平面的一个法向量为．
所以．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
方法一：由知三线交于点，
显然是和的重心．
同时．
因此，只需要求的面积的取值范围．
如图，中，，
由重心的性质知，
又三点共线，所以，
且，
所以
对比两式，可得．
因为，所以．
因为，
所以．
又，令，则，
故．
因此．
所以，即多面体的体积的取值范围为．
方法二：由知三线交于点，显然是的重心，
，
又，
所以．
只需要求距离和的取值范围．
根据已知条件，线段绕点旋转，如图，
设，又，
则，
所以，
因为，即，
所以．
由题意，，则，所以．
故令，则，
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
故，此时；
，此时．
所以如图，在中，
当位于平行于位置时，距离和最小，最小距离为；
当位于位置时，距离和最大，此时为的中点，最大距离和为，
所以，即多面体的体积的取值范围为．

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