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2025-2026学年山东省青岛市青岛杜威实验学校高二上学期10月阶段性检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.一个正四棱锥的高是，底面边长也为，则正四棱锥的侧面积是( )
A. B. C. D.
3.如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为( )
A. B.
C. D.
4.已知点，，若直线与线段相交，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.如图，在平行六面体中，，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
6.已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.已知空间向量，，下列说法错误的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若在上的投影向量为，则
D. 若与夹角为锐角，则
8.如图，在直三棱柱中，为腰长为的等腰直角三角形，且，，，为平面内一动点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下能判定空间中四点共面的条件是( )
A. B.
C. D.
10.在平面直角坐标系中，点，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若三点共线，则
11.下列命题正确的有( )
A. 若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则
B. 若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底
C. 已知向量，若，则为钝角
D. 已知直线的一个方向向量为且过点，则的方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线与直线垂直，则实数的值为 ．
13.如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱若二面角的平面角为，且，，则 ．
14.在九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑已知在鳖臑中，，平面，当该整臑的外接球的表面积为时，则它的内切球的半径为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知棱长为的正四面体，分别是，的中点．

用，，表示向量，并求的模长；
求证：，；
求与所成角的余弦值．
16.本小题分
在中，边所在的直线斜率为，其中顶点点坐标为，顶点的坐标为．
求边上的高所在的直线方程；
若，的中点分别为，，求直线的方程．
17.本小题分
如图所示，四棱锥的底面是矩形，，，且底面，若边上存在异于的一点，使得直线．

求的最大值；
当取最大值时，求异面直线与所成角的余弦值；
当取最大值时，求点到平面的距离．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点．

证明：平面；
求三棱锥的体积；
求二面角的余弦值．
19.本小题分
已知三棱锥的体积为，在中，，是内一点，，记．
若，，，到平面的距离为，求；
若是的重心，且对任意，均有．
求的最大值；
当最大时，个分别由个实数组成的元数组满足对任意，均有，且对任意，均有，若，求的值．
参考公式：，，
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.，，
所以．
，所以，同理可证，所以：．
设为异面直线与所成的角，

16.由题意知边上的高过，，
因为边上的高所在的直线与所在的直线互相垂直，
故高线的斜率为，
所以边上的高所在的直线方程为：，即；
由已知点坐标为，，故的中点为，
因为是的一条中位线，所以，
而，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，化简可得．

17.

建立如图空间直角坐标系，
设，则，，，，
则，．
因为，所以，即．
即，
当时，的最大值为．
由可知，当取最大值时，，，
所以．
所以异面直线与所成角的余弦值为．
设平面的法向量为，则
因为，，，
所以
取，则，，所以，
所以，
因为到平面的距离等于在上的射影长，
所以．

18.取中点，连接，
为的中点，为中点，所以，且，

又，，，，
所以有，且，
所以四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面．
底面是直角梯形，，平面，平面，
所以平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，
所以三棱锥的体积，
又为的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，
所以，
又，，，
所以，故，
又，，所以，
平面平面，且平面平面，
又平面，所以平面，
故．
因为平面平面，且其交线为，
又平面，，

所以平面，
取的中点，连接，
在中，，分别为，的中点，
所以，
则平面，
过作于，连接，则有，
所以为二面角的平面角，
在直角梯形中，，，所以，
所以，
又，所以，
在中，，
所以，又，
解得：，
即二面角的余弦值为．

19.
由题意，，，，
故在中，，
由正弦定理，，则，
在的中，，故；
设三棱锥的顶点到底面的距离为，
则，由到平面的距离为，
故，
故．
因为为的重心，则有，
，，，
则，
则，故点到底面的距离，
；
在的中，由余弦定理，
，故，
，，
则，当时，等号成立．
故最大值为．
由可知时，最大，
，则，
而，
又，，，
故．

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