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2025-2026学年山东省济宁第二中学高二上学期10月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，均为空间单位向量，它们的夹角为，那么等于( )
A. B. C. D.
2.已知点在平面内，并且对空间任意一点，都有，则的值是( )
A. B. C. D.
3.设，，若与为共线向量，则( )
A. ， B. C. D.
4.化简所得的结果是( )
A. B. C. D.
5.在数学考试中，小强的成绩在分以上含分的概率是，在分的概率是，在分的概率是，则小强在数学考试中取得分以上含分的概率为( )
A. B. C. D.
6.先后投掷均匀的五角、一元硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含个样本点的是( )
A. “至少一枚硬币正面向上”
B. “只有一枚硬币正面向上”
C. “两枚硬币都是正面向上”
D. “两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”
7.事件与事件的关系如图所示，则( )
A. B.
C. 与互斥 D. 与互为对立事件
8.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是( )
A. B.
C. D.
10.多选题下列命题中不正确的是( )
A. 若与共线，与共线，则与共线
B. 向量，，共面，即它们所在的直线共面
C. 若两个非零空间向量，，满足，则
D. 若，则存在唯一的实数，使
11.分别抛掷两枚质地均匀的骰子六个面上的点数分别为，，，，，，设事件“第一枚骰子的点数为奇数”，事件“第二枚骰子的点数为偶数”，则( )
A. 与互斥 B. 与不对立 C. 与相互独立 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知事件和事件相互独立，若，则 ．
13.已知点，，的坐标分别为，，，点的坐标为，若，，则点的坐标为 ．
14.有下列四个命题：
已知，，，是空间任意四点，则；
若两个非零向量与满足，则；
分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量；
对于空间的任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面．
其中正确命题有 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
甲、乙两射击运动员分别对一目标射击次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，求：
人都射中目标的概率；
人中恰有人射中目标的概率；
人至少有人射中目标的概率；
人至多有人射中目标的概率．
16.本小题分
如图，在平行六面体中，，，，、、分别是、、的中点，点在上，且用空间的一个基底表示下列向量：
；
；
；
．
17.本小题分
一个口袋内装有形状大小相同，编号为，，的个白球和编号为的个黑球．
从中一次性摸出个球，求摸出的个球都是白球的概率；
从中连续取两次，每次取一球后放回，甲乙约定：若取出的两个球中至少有个黑球，则甲胜，反之，则乙胜你认为此游戏是否公平？说明你的理由．
18.本小题分
如图，在平行六面体中，，，，，求与所成角的余弦值．
19.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，为的中点，，分别在棱，上，，．
求的长．
求与所成角的余弦值．
参考答案
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15.【详解】设“甲射击次，击中目标”为事件，“乙射击次，击中目标”为事件，则与，与，与，与为相互独立事件．
则人都射中目标的概率为．
“人各射击次，恰有人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中事件发生，另一种是甲未射中、乙射中事件发生根据题意，事件与互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为
．
“人至少有人射中”包括“人都中”和“人有人射中”两种情况，其概率为．
“人至多有人射中目标”包括“有人射中”和“人都未射中”两种情况，
故所求概率为
．

16.【详解】解：，
则；
解：，，
所以，；
解：．
解：．

17.【详解】从袋中一次性摸出个球，所包含的基本事件有：，，，，，，共个基本事件；
摸出的个球都是白球，所包含的基本事件有：，，，共个基本事件；
则从中一次性摸出个球，求摸出的个球都是白球的概率为；
从袋中连续取两次，每次取一球后放回，则所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件；
则取出的两个球中至少有个黑球，所包含的基本事件有：，，，，，，，共个基本事件；
因此取出的两个球中至少有个黑球的概率为，即甲胜的概率为，则乙胜的概率为，所以此游戏不公平．

18.【详解】取基底，
则，
，
所以
设与所成角为，则，
所以与所成角的余弦值为．

19.【详解】以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
．
因为，，，，
所以，，
则，．
所以，
所以，
所以与所成角的余弦值为．

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