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2025-2026学年山东省泰安第一中学高二上学期10月学情检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.对于空间任意两个非零向量，，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知是直线的方向向量，且直线，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.设，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知直线与，若，则之间的距离是( )
A. B. C. D.
5.一条光线从点射出，经过轴反射后恰好平分圆的周长，则入射光线所在直线的方程为( )
A. B. C. D.
6.已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点的个数为( )
A. B. C. D.
7.如图，已知是边长为的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知实数满足方程，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足，，则( )
A. 当时，点在棱上 B. 当时，点在棱上
C. 当时，点在线段上 D. 当时，点在线段上
10.如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则( )
A. 平面 B.
C. D. 点到直线的距离为
11.已知，是圆上的一个动点，则下列结论正确的是( )
A. 过点且被圆截得最短弦长的直线方程为
B. 直线与圆总有两个交点
C. 过点作两条互相垂直的直线，分别交圆于点和，则四边形的面积的最小值为
D. 的外接圆的半径的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知两点，则以为直径的圆的标准方程为 ．
13.已知圆与圆心在原点处的单位圆恰有两条公切线，则正数的取值范围为 ．
14.棱长为的正方体中，分别是平面和平面内动点，
，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
三个顶点，求：
边上中线所在直线方程；
边上高所在直线方程；
的角平分线所在直线方程．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的余弦值．
17.本小题分
已知圆经过点，与直线相切，且圆心在直线上．
求圆的方程；
已知直线经过点，并且直线与圆交于两点，若，求直线的方程．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，是斜边为的等腰直角三角形，．
求证：平面；
求异面直线所成的角；
在棱上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，记线段中点的运动轨迹为曲线
求曲线的方程．
过点作直线与曲线相切，切点分别为点，求直线的方程．
斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点，直线的斜率分别为，且若为垂足，证明：存在定点，使得为定值．
参考答案
1.
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4.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】由题意有：设的中点为，所以，所以，
所以，所以，即，
所以边上中线所在直线方程为；
设边上高所在直线的斜率为，
由题意有：，由，所以，
所以，即，
所以边上高所在直线的方程为；
由题意得直线的方程为，即，
直线的直线方程为：，
设的角平分线所在直线上任意一点坐标为，
所以，所以，
即或，
又的角平分线所在直线方程的斜率为正数，
所以的角平分线所在直线方程为．

16.【详解】取中点，因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面
所以平面，平面，所以
为中点，，，
已知，以为原点，分别以所在直线分别为轴建系如图，则
，
因为，平面，，所以平面，
平面的法向量可取，
，又平面平面，得证；
因为平面，所以平面法向量可取，记与平面成角，
则，因为，所以，
即直线与平面所成角的余弦值为．

17.【详解】因为圆心在直线上，可设圆心为．
则点到直线的距离，据题意，，则，
解得所以圆心为，半径，则所求圆的方程是．
当不存在时，得：直线，代入圆方程中解得：，，
由于，所以，符合题意；
当存在时，设直线方程，
由于，故为等腰直角三角形，因此可得圆心到直线的距离为，
即，，直线方程为．
综上所述，直线方程为或．

18.【详解】证明：取中点，已知，
又，
，
以为原点，所在直线分别为轴建系如图，
，，
又，，面，面，
面，得证；
由坐标系，，
记异面直线，成角．
假设在棱上存在点，使得平面与平面成角余弦值，
由坐标系，，
设，
，
设为平面的一个法向量，
即，取，
平面一个法向量，
设平面与平面夹角，，
．

19.【详解】设线段的中点为，
因为点在圆上，
所以，化简得，
所以曲线的方程为．
因为
所以四点共圆，圆心为的中点，半径为，
即圆的方程为，

直线是两圆公共弦所在直线，
作差得，所以直线所在的直线为．
设直线，
，得，
即，
则，
所以，
所以直线的方程为，即直线过定点，
因为为定值，为直角三角形，为斜边，

所以当是的中点时，，
所以存在定点为定值．

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