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2025-2026学年山东省济宁市微山县第二中学高二上学期10月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，并且，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2.抛一枚硬币次，有次正面朝上，则事件“反面朝上”的概率和频率分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为，，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
4.设是一个随机试验中的两个事件，，则( )
A. B. C. D.
5.在一个不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的个球，其中个黑球、个白球，从袋子中一次摸出个球，下列事件是必然事件的是( )
A. 摸出的是个白球 B. 摸出的是个黑球
C. 摸出的球中至少有个是黑球 D. 摸出的是个白球、个黑球
6.若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
7.已知向量，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
8.不透明的盒子里面装有五个分别标有数字、、、、的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是偶数的概率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.多选已知空间向量，则下列说法正确的是( )
A. B. 若，则
C. D. 若向量同向共线，则
10.多选以下能判定空间中四点共面的条件是( )
A. B.
C. D.
11.随机地排列数字，，得到一个三位数，则( )
A. 可以排成个不同的三位数 B. 所得的三位数是奇数的概率为
C. 所得的三位数是偶数的概率为 D. 所得的三位数大于的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在直棱柱中，，是的中点，，则二面角的余弦值是 ．
13.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 ．
14.甲、乙两人投球命中率分别为和，则甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
明天甲地不降雨的概率为，乙地不降雨的概率为假设明天甲、乙两地是否降雨相互之间没有影响．
求明天甲、乙两地都不降雨的概率；
求明天甲、乙两地至少有一个地方降雨的概率．
16.本小题分
在正方体中，点，分别是底面和侧面的中心．求证：
平面；
平面；
17.本小题分
在棱长为的正方体中，分别是，的中点．
求证：；
求；
求的长．
18.本小题分
已知是正四棱柱．
证明：平面平面；
若，求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
甲、乙两位同学进行中国象棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜局，此人最终获胜，比赛结束；局比赛后，没人累计获胜局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜，两人获胜局数相等为平局已知每局比赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为，且每局比赛的结果相互独立．
求比赛局结束的概率；
求甲最终获胜的概率．
参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】或
15.【答案】解：设“明天甲地不降雨”为事件，“明天乙地不降雨”为事件，则，，
因为甲、乙两地是否降雨相互之间没有影响，所以事件与事件相互独立，
根据相互独立事件同时发生的概率公式可得，，
所以明天甲、乙两地都不降雨的概率为；
设“明天甲、乙两地至少有一个地方降雨”为事件，
因为“甲、乙两地至少有一个地方降雨”的对立事件是“甲、乙两地都不降雨”，
由知“甲、乙两地都不降雨”的概率为，
根据对立事件的概率公式，，
所以明天甲、乙两地至少有一个地方降雨的概率为．

16.【答案】解：设正方体的边长为，
以为坐标原点，以所在直线为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，
，
所以，又，平面
所以平面．
由可得，所以，
又由可得平面的一个法向量为，
可得，所以，
又因为平面，所以平面．

17.【答案】解：证明：以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
因为，所以，即．
由得，，
，，
所以．
由知，
故．

18.【答案】解：由题意，平面，因为平面，
所以，在正方形中，，
因为平面且，所以平面，
又平面，所以有平面平面；
以为坐标原点，为轴建立直角坐标系，
所以有，
则有，
设平面的法向量为，则有
取法向量为，
又平面的法向量，
所以平面与平面夹角的余弦值为
．

19.【答案】解：根据题意可知，比赛局结束的事件为前两局中，甲或乙中有一个人胜了一局且另一局为平局或败局，
第三局由前两局中胜一局的一方获胜，
所以比赛局结束的概率为：，
根据题意可知，甲最终获胜的可能性有：
两局后获胜，即连续胜两局，此时概率为；
三局后获胜，且前两局有一局没获胜，此时概率为；
四局后以胜局获胜，且前三局只胜一局，另两局没有全败，此时概率为；
四局后以胜局获胜，且另外局全是平局，此时概率为；
所以设“甲最终获胜”为事件，则

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