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2025-2026学年山东省济宁市嘉祥县第一中学高二上学期10月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.从装有个红球和个黄球的口袋内任取个球，那么“至少有个红球”的对立事件是( )
A. 至少有个红球 B. 至少有个黄球 C. 都是黄球 D. 至多个红球
2.设，向量，且，则等于( )
A. B. C. D.
3.在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，，，则用基底表示向量为( )
A. B. C. D.
4.从，，，这四个数中随机取两个数，则这两个数之和为偶数的概率是( )
A. B. C. D.
5.已知平面的一个法向量为，点在平面内．若点的坐标为，则直线与平面所成的角为( )
A. B. C. D.
6.如图，已知，，是边长为的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则( )
A. B. C. D.
7.依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，则( )
A. 与为对立事件 B. 与为相互独立事件
C. 与为相互独立事件 D. 与为互斥事件
8.是被长为的正方体的底面上一点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. 若，为两个事件，则“与互斥”是“与相互对立”的充分不必要条件
B. 若，为两个事件，且，则与互斥
C. 若，，则事件，相互独立与事件，互斥可以同时成立
D. 若事件，满足，则与相互对立
10.给出下列命题，其中正确的命题是( )
A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
B. 若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面
C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D. 已知向量，，则在上的投影向量为
11.如图，在直棱柱中，底面是边长为的菱形，，，点为的中点，点为侧面内包含边界一动点，则下列结论正确的是( )
A. 平面截四棱柱所得的截面是五边形
B.
C. 平面与平面所成角的余弦值为
D. 若平面，则点轨迹的长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机事件，相互独立，且则的值为 ．
13.已知直线经过点，且向量为的一个单位方向向量，则点到的距离为 ．
14.甲、乙二人进行射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件，规则如下：若射击一次击中，则此人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为，且第一次由甲开始射击，则前次射击中甲恰好击中次的概率是 ；第次由甲射击的概率是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量．
若，求实数的值；
求；
若不能构成空间向量的一个基底，求实数的值．
16.本小题分
树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环据此，某市推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示
求出的值；
求这人年龄的样本平均数同一组数据用该区间的中点值作代表和中位数精确到小数点后一位；
现在要从年龄较小的第，组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求这人恰好在同一组的概率．
17.本小题分
已知在四棱锥中，底面是矩形，是等边三角形，平面平面，是线段的中点．

求证：直线平面；
求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
中华人民共和国爱国主义教育法已由中华人民共和国第十四届全国人民代表大会常务委员会第六次会议于年月日通过，现予公布，自年月日起施行．甲，乙两同学组成“星队”参加黑龙江省“爱国主义教育法”知识竞赛．现有，两类问题，竞赛规则如下：
竞赛开始时，每个同学先从类问题中随机抽取一个问题进行回答，答错的同学本轮竞赛结束；答对的同学再从类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，本轮竞赛结束．
若在本轮竞赛中“星队”同学合计答对问题的个数不少于个，则“星队”可进入决赛．
已知甲同学能答对类中问题的概率为，能答对类中问题的概率为乙同学能答对类中问题的概率为，能答对类中问题的概率为．
设“甲同学答对个，个，个问题”分别记为事件，求事件的概率；
求甲乙两同学组成“星队”能进入决赛的概率．
19.本小题分
如图，在边长为的菱形中，，点，别是边，的中点，，沿将翻折到的位置，连接、、，得到如图所示的五棱锥．
在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；
当四棱锥体积最大时，在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

15.【详解】由得
解得；
因为，
，
所以；
若不能构成空间向量的一个基底，则向量共面，
则存在，
使得，
所以，解得
所以实数的值为．

16.【详解】由，得．
平均数为：岁；
设中位数为，则，岁
第，组的人数分别为人，人，从第，组中用分层抽样的方法抽取人，则第，组抽取的人数分别为人，人，分别记为，，，，，设从人中随机抽取人，为，，，，，，，，，共个基本事件，这人恰好在同一组的基本事件，，，共个，所以．

17.【详解】取中点，连，因为分别为的中点

所以，且，又因为，且，
所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，故平面．
取中点，连，过作交于点，
因为为正三角形，为中点，故，
又平面平面，平面平面，故平面，
又，如图建立空间直角坐标系，

不妨设，则，
，
设平面的一个法向量为，
则，所以
令得平面的一个法向量为，
设与平面所成角为，
所以，
故与平面所成角的正弦值为．

18.【详解】因为甲同学能答对类中问题的概率为，能答对类中问题的概率为，
所以，，．
设“乙同学答对个，个问题”分别记为事件，
因为乙同学能答对类中问题的概率为，能答对类中问题的概率为，
可得，
设事件表示“星队能进入决赛”，
可得
，
所以“星队”能进入决赛的概率为．

19.【详解】在翻折过程中总有平面平面，
证明如下：点，分别是边，的中点，
又，，且是等边三角形，
是的中点，，
菱形的对角线互相垂直，，，
，平面，平面，
平面，平面，
平面，平面平面．
由题意知，四边形为等腰梯形，
且，，，
所以等腰梯形的面积，
要使得四棱锥体积最大，只要点到平面的距离最大即可，
当平面时，点到平面的距离的最大值为．
假设符合题意的点存在．
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，又，
又，且，平面，平面，
平面，故平面的一个法向量为，
设，
，
，故，
，，
平面的一个法向量为，
则，，
即
令，所以
，
则平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，
则，即，解得：，
故符合题意的点存在且为线段的中点．

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