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2025-2026学年山东省桓台第一中学高二上学期10月阶段性检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
2.已知事件两两互斥，若，，，则 ．
A. B. C. D.
3.在三棱锥中，点为线段的中点，，则
A. B. C. D.
4.若某群体中的成员只用现金支付的概率为，既用现金支付也用非现金支付的概率为，则不用现金支付的概率为
A. B. C. D.
5.已知空间向量，，，若向量共面，则实数( )
A. B. C. D.
6.已知空间向量，则在上的投影向量的模为( )
A. B. C. D.
7.国家于年月日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩则下列说法正确的是( )
A. 事件与事件互斥但不对立 B. 事件与事件互斥且对立
C. 事件与事件相互独立 D. 事件与事件相互独立
8.在如图所示的试验装置中，正方形框架的边长为，长方形框架的长，且它们所在平面形成的二面角的大小为，活动弹子，分别在对角线和上移动，且始终保持，则的长度最小时的取值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给出下列命题，其中正确的有( )
A. 空间中任意两个向量一定共面
B. 若是空间的一个基底，则，，中任意两个向量不共线
C. 若空间向量，，则与的夹角为钝角
D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
10.下列说法正确的有( )
A. 甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是，则题被解出的概率是
B. 若，是互斥事件，则
C. 已知事件，发生的概率分别为，且，则事件，相互独立
D. 一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是
11.在长方体中，，底面是边长为的正方形，，则下列选项正确的有( )
A. ，三棱锥的体积是定值
B. 当时，存在唯一的使得平面
C. 当时，的周长取得最小值
D. 当直线与所成角的余弦值为时，的值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线的方向向量为，平面的法向量为若，则实数的值为 ．
13.已知、是独立事件，，，则 ．
14.已知甲袋中有个白球个红球，乙袋中有个白球个红球，各个球的大小与质地相同现从甲乙两袋中依次不放回地各取个球，若从甲袋中取出的个球的颜色不相同与从乙袋中取出的个球的颜色不相同的概率相等，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某区，，三所学校有意愿报考名校自招的人数分别为，，人，受疫情因素影响，该区用分层随机抽样的方法从三所学校中抽取了名学生，参加了该区统一举办的现场小范围自招推介说明会．
从这名中随机抽取名学生进行座谈和学情调查，求这名学生来自不同学校的概率；
若考生小张根据自身实际，报考了甲乙两所名校的自招，设通过甲校自招资格审核的概率为，通过乙校自招资格审核的概率为，已知通过两所学校自招资格审核与否是相互独立的，求小张至少能通过一所学校自招资格审核的概率．
16.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，为平面的中心，为的中点，
求点到直线的距离．
求点到平面的距离．
17.本小题分
如图，三棱柱中，分别是上的点，且设，，．
试用，，表示向量；
若，求的长．
在的条件下，求与所成角的余弦值．
18.本小题分
甲、乙、丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观每局比赛胜者与此局旁观者进行下一局比赛，按此规则循环下去约定先赢两局者获胜，比赛结束根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛相互独立且没有平局．
若第一局由甲、乙对战，求进行两局比赛后，比赛结束且甲获胜的概率；
若第一局由甲、乙对战，求进行两局比赛后，比赛结束的概率；
分别求第一局由乙、丙对战和第一局由甲、乙对战时，比赛结束时，甲获胜的概率．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，．

求证：平面平面；
当，求直线与平面所成角的余弦值；
若平面与平面的夹角为，求的值．
参考答案
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13.
14.或
15.【详解】用分层随机抽样的方法从三个学校中一共抽取了名选手参加全市集训，现三所学校应该抽取的人数分别为，，
设来自学校的为，；来自学校的学生为，；
来自学校的两名学生分别为，
从这名中随机抽取名学生进行座谈和学情调查，
样本空间
共包含个样本点，记这名学生来自不同学校为事件，
事件含个样本点，
所以
记小张至少能通过一所学校自招资格审核为事件，
通过甲学校自招资格审核为事件，通过乙学校自招资格审核为事件，
则事件“至少通过一所学校自招资格审核”的对立事件是“两所学校都通不过”，
因为与相互独立，所以与相互独立，
所以，
故小张至少能通过一所学校自招资格审核的概率为

16.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
因为，
所以．
所以点到直线的距离为．
如图，，，
则，
设平面的法向量为，
则即，取，
而，故．

17.【详解】解：
，
又，，，
．
解：，．
，，
，
，
．
解：
又
．

18.【详解】记甲、乙、丙第局比赛获胜分别为事件
记比赛两局结束且甲获胜为事件，则，
所以．
故第一局由甲、乙对战，进行两局比赛且甲获胜的概率为．
记第一局由甲、乙对战两局后比赛结束为事件，则
所以
，
则第一局由甲、乙对战两局后比赛结束的概率为．
设第一局由甲乙对战甲获胜的概率为，
则，
设第一局由乙、丙对战甲胜的概率为，
则．
综上，第一局由乙、丙对战，甲获胜的概率为，
第一局由甲乙对战，甲获胜的概率为．

19.【详解】因，为的中点，则，
在直角梯形中，，，则四边形为矩形，
则，因平面，故平面，
又平面，则平面平面．

如图，因平面底面，平面底面，
，平面，则底面，又，
则可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系．
因，，则，
因，则，
又
设平面的法向量为，
则，故可取．
设直线与平面所成角为，则，
由，可得，
即直线与平面所成角的余弦值为．
由建系，依题可设，
则，
设平面的法向量为，
则，故可取，
因底面，故可取底面的法向量为，
依题意，，
化简得：，解得或，
因，则，即．

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