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第五章二元一次方程组单元提优卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中只有一个选项符合题意)
1.[2025 河北邢台月考]若 是二元一次方程组，则“…”不可能是 ( )
A. x=-1 B. y+2=0 C. xy=0 D. x-y=-1
2.[2025 重庆江津区月考]由方程组 可得出x与y的关系式是 ( )
A. x-y=2 B. x-y=8 C. x-y=-2 D. x-y=-8
3.[2025 四川绵阳中学月考]已知方程组 则a+b+c=( )
A.2 B.4 C.-3 D.3
4.[2025 湖南长沙月考]按如图所示的运算程序，能使输出结果为3的x，y的值是 ( )
5.[2025 山西太原月考]如图,将正方形ABCD的一角折叠,折痕为AE,∠B'AD 比∠B'AE大48°.设∠B'AD 和∠B'AE 的度数分别为x°，y°，那么可列方程组为 ( )
6.[2025河南新乡月考]甲、乙两位同学解方程组，甲看错了方程组 中的a，得到的解为 乙看错了方程组中的b，得到的解为 则方程组正确的解为 ( )
7.[2025 江 苏 南 通 月 考,中 ]已 知关于 x,y 的方程组 有下列说法：①一定有唯一解；②可能有无数多个解；③当a=2时，方程组无解；④若方程组的一个解中y的值为0，则a=0.其中正确的说法有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
8.[2025 浙江杭州育才中学月考，中]《九章算术》的“方程”一章里的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图(1)、图(2).图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项.把图(1)所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来，就是 在图(2)所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图(2)所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形为 ( )
A.| B.|| C.| 1 D.||||
9.[2025广东广州月考，中]如图，规定同行相邻圆圈内两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数.对于x，y，m，n的取值，甲、乙、丙三人的说法如下.
甲:若x=1,则n=5;
乙：x+y的值一定是2；
丙:若m=5,则y=3.
下列判断正确的是 ( )
A.甲对，乙错 B.乙和丙都错
C.乙对，丙错 D.甲、乙、丙都对
10.[2025 安徽合肥期末，难]有五张写有数字的卡片，分别记为①②③④⑤，将它们按如图所示的方式放置在桌上.下表记录了相邻两张卡片上的数字之和.
卡片编号 ①② ②③ ③④ ④⑤ ①⑤
数字之和 52 64 57 69 46
则写有数字最大的卡片的编号是 ( 、
A.② B.③ C.④ D.⑤
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
11.公开放性问题[2025 浙江宁波月考]请写出关于x，y的二元一次方程x-y=2的一个正整数解： .
12.[2025江苏无锡月考]一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，2x+1，y-1，若这两个三角形全等，则x+y的值是 .
13.[2025 北京海淀区校级期中]在解关于 x，y 的方程组 时，可以用①×7-②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5消去未知数y,则m= ,n=
14.[2025 吉林长春月考]如图，在天平的左盘放入苹果和香蕉，其中①②的天平保持平衡，现要使③中的天平也保持平衡，需要在天平右盘中放入砝码 克.
15.[2025 山东泰安月考，中]已知一次函数y= ax+2与y= kx+b的图象如图所示，且方程组 的解为 点A 为两直线交点，点B 的坐标为(0，-1)，y轴上有一个动点P,若S△ABP=6,则点 P 的坐标为
16.[2025 江苏南京月考，难]某生鲜店推出了A、B、C三类蔬菜包以方便居家生活的市民购买，A、B、C三类蔬菜包内均由萝卜、白菜、洋葱三种蔬菜搭配而成，每袋蔬菜包的成本也均为里面搭配的三种蔬菜成本之和.每袋 A 蔬菜包有5斤萝卜、4斤白菜、6斤洋葱；每袋C蔬菜包有7斤萝卜、2斤白菜、3斤洋葱已知每袋 A 蔬菜包的成本是该袋中萝卜成本的3倍，利润率为30%，每袋B 蔬菜包的成本是其售价的 ，每袋C 蔬菜包的利润是每袋 A 蔬菜包利润的 .若该生鲜店 1 月 2 日当天销售 A、B、C三种蔬菜包袋数之比为2：1：3，则当天该生鲜店销售 A、B、C三种 蔬菜包的 总 利润与 总 成本 的 比为 (注:1斤为500克).
三、解答题(本大题共6小题，共66分)
17.[2025 北京西城区月考](8分)解方程组:
18.[2025 湖南岳阳期中](10分)为打造南渡江南侧风光带，现有一段长350米的河边道路整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治15米，B工程队每天整治10米，共用时30天.
(1)根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组：
甲： 乙
根据甲、乙两位同学所列的方程组，请分别指出其中未知数x表示的意义：
甲:x表示 ;
乙:x表示 .
(2)从甲、乙两位同学所列方程组中任选一个，将其补全，并利用此方程组求出A、B两个工程队分别整治河边道路多少米.
19.[2025河南洛阳月考](10分)下面是按一定规律排列的方程组和对应方程组的解，方程组从左至右依次记作方程组1，方程组2,方程组3,…,方程组 n.
方程组：
对应方程组的解：
(1)方程组1的解为 ；
(2)请依据以上方程组以及对应的解的变化规律，直接写出方程组n为 ，方程组n的解为 ；
(3)若方程组 的解是 求a的值，并判断该方程组是否符合(2)中的规律.
20.[2025上海黄浦区期中](12分)如图(1)，将两个边长不等的正方形纸片A、B并排放置.
(1)若m=8,n=3,则 A、B 两个正方形纸片的面积之和为 ；
(2)用含 m，n的代数式表示A、B两个正方形纸片的面积之和为 ；
(3)[中]若A、B两个正方形纸片的面积之和为 且图(2)中阴影部分的面积为 求m和n的值.
21.[2025福建龙岩月考](12分)定义：在平面直角坐标系xOy中，若点 的横坐标x与纵坐标y都是方程 ax+ by+c=0的解,则称A(x ,y ),B(x ,y ),C(x ,y )三点共线.(如:点 P(2,3)的横坐标x=2 与纵坐标y=3是方程3x-4y+6=0的解)
(1)已知方程2x-3y+5=0,请判断A(-1,1),B(2,3),C(0, 四个点中哪三个点共线，并写出判断过程.
(2)已知方程(a-1)x+2y+a=0.
①[中]对于任意实数a的值，该方程总有一个固定的解，请求出这个解.
②[偏难]以①中的解的x值为点 M 的横坐标，y值为点 M 的纵坐标,若N(2,t+1),P(3,2-t)与M三点共线,求a与t的值.
22.探究性问题[2025 浙江绍兴期末](14分)综合与实践：
素材1：如图是一架自制天平，支点O 固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的支撑点 P 可以在横梁OB 段滑动，已知OA=OC=12cm,BC=28 cm,左侧托盘放置一个100g的砝码.
任务1：若右侧托盘放置50g的物体，当天平平衡时，求OP的长.
素材2：若将右侧托盘上的物体换成一个空矿泉水瓶，在空瓶中加入一定量的水，滑动右侧托盘，当支撑点 P 到点 B 时，天平平衡；若再向瓶中加入等量的水，当点 P 移动到 PC 的长为12 cm时(点 P 在点 C 的右侧),天平恰好平衡.
任务2：求这个矿泉水瓶的质量.
素材3：继续向矿泉水瓶中加水，当加水量是第一次加水量的5倍时，移动右侧托盘，使天平平衡.
任务3：请描述支撑点 P 的移动过程.
温馨提示：根据杠杆原理，天平平衡时，左盘砝码质量×OA=右盘物体质量×OP(不计托盘和横梁的质量)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A D D B C B D A
(答案不唯一) 12.14或12.5
13.2 5 14.250 15.(0,5)或(0,-7)
16.3:1
17.【解】(1)[38x2y=2y=100①×2-②×3,得
-13y=-26,解得y=2. (2分)
将y=2代入①,得3x-4=-1,解得x=1.
(3分)
故原方程组的解为 (4分)
D>②-①,得2x+5y=20,整理，得 ③ (5分)
把③代入①，得 2 991.
去分母,得 5 982.
去括号,得119980-4995y-2004y=5 982.
移项、合并同类项,得6999y=13 998,解得y=2. (7分)
把y=2代入③，得 所以原方程组的解为 (8分)
(1)A工程队所用的天数 ，A 工程队整治的河边道路总长度 (4分)
(2)【解】(任选其一解答)补全甲同学的方程组为 (6分)
解此方程组得 (8分)
所以15x=150,10y=200.
答：A、B两个工程队分别整治河边道路150米,200 米. (10分)
补全乙同学的方程组为 (8分)
解此方程组得 答：A、B两个工程队分别整治河边道路150 米,200米. (10分)
19.【解】 ) y①-②,得2y=0,解得y=0.将y=0代入①中，得：x=1,所以 故答案为 (2分)
(2)方程组 1 为 方程组 2 为 方程组 3 为 以此类推，可得方程组n为
过观察可知方程组n的解为 故答案为 (6分)
(3)因为 是方程组 的解，所以5-a×(-4)=25,解得a=5, … (8分)即原方程组为 所以该方程组符合(2)中的规律. (10分)
20.【解】设正方形 A 的边长为x，正方形 B 的边长为y.
①②①+②,得2x=11,所以x=5.5,将x=5.5 代入①,得5.5+y=8,所以 y = 2.5,所以36.5，所以A、B两个正方形纸片的面积之和为36.5.故答案为36.5. (3分)
解得 所以 A、B 两个正方形纸片的面积之和为 故答案为 (6分)
所以由题意得 解得 负值已舍去)故m的值为 ，n的值为 (12分)
21.【解】(1)A,B,D 三点共线.对于A(-1,1),将x=-1,y=1代入方程,得2×(-1)-3×1+5=0;;对于B(2,3),将x=2,y=3代入方程，得2×2-3×3+5=0;；对于 将 代入方程，得 5=10≠0;对于 将 代入方程，得 所以A,B,D 三点共线. (3分)
(2)①(a-1)x+2y+a=0,ax-x+2y+a=0,a(x+1)-x+2y=0..因为对于任意实数a的值，该方程总有一个固定的解，
所以 解得 所以这个解为 .(8分)
②因为N(2,t+1),P(3,2-t)与M三点共
线，所以
整理得3 a + 2 t = 0 , a - 2 t + 1 = 0 , (11 分)
解得 所以
22.【解】任务 1：因为左盘砝码质量>×OA=右盘物体质量×OP,所以100×12=50×OP,解得OP=24,,所以 OP 的长为24 cm. … (4 分)任务2：因为(OA=OC=PC=12cm,BC=28 cm,所以(OB=OC+BC=40cm,OP=OC+PC=24cm..设矿泉水瓶的质量为ag，每次加入等量的水的质量为 b g.根据素材2 可列方程组为解得 答：这个矿泉水瓶的质量是10g.
(10分)
任务3：当加水量是第一次加水量的5 倍时，矿泉水瓶和水的质量为： 5=150(g),所以100×12=150×OP,解得OP=8,所以支撑点 P 向左平移24-8=16(cm). (14分)

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