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2025级秋季第一学月联考
高一年级 数学试卷
分值：150 分　考试时间：120 分钟　
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。第Ⅱ卷用0.5 mm黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
3．考试结束， 监考员将答题卡收回。
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.下列各式中，错误的个数是( )
①{0}∈{0 ，1 ，2}；②{0 ，1} ＝{(0 ，1)}；③ {0 ，1 ，2}；④ = {0}.
A.1 B.2 C.3 D.4
2. 已知集合 A ＝{x|2x＋1>0} ，B ＝{x|1－x>0} ，则 A∩B ＝( )
A B. {x|x＞1}
3.“x－1 ＝0 ”是“x2－1 ＝0 ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.不等式－x2＋6x＋27>0 的解集为( )
A. {x|－3C. {x|x<－3 ，或 x>9} D. {x|x<－9 ，或 x>3}
5.如果 a<0 ，b>0 ，那么下列不等式中正确的是( )
A.a2|b| D
6.若不等式 x2＋x＋m ≥0 对任意的x ∈ R恒成立，则实数 m 的取值范围是( )
A.m B.m C.m D.m
7.. 函数fx2－x＋1，x∈[0 ，4]的值域为( )
A.[0 ，4] B.[1 ，5]
C.[1 ，4] D.
8. 已知 x>0，y>0 ，且 x＋2y ＝4 ，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为( )
A.16 B.9 C.4 D.36
二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.）
9. 已知全集 U＝Z ，集合 A ＝{x|2x＋1≥0，x∈Z} ，B ＝{－1 ，0 ，1 ，2} ，则下列结论正确的是( )
A.A∩B ＝{0 ，1 ，2} B.A∪B ＝{x|x>0}
C.(C UA)∩B ＝{1} D.A ∩B 的真子集个数是 7
10.下列命题中为真命题的是 ( )
A ．“ x > 4 ”是“x < 5”的既不充分又不必要条件
B ．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件
C ．“关于x 的方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 有实数根”的充要条件是“b2 — 4ac > 0 ”
D ．设a ，b ∈ R ，则“a ≠ 0”是“ab ≠ 0”的必要不充分条件
11．对于任意实数x ，[x] 表示为不超过x 的极大整数，如[—1.2] = —2 ，[1.3] = 1 ，( )
A ．若x ≤ y 时，则[x] ≤ [y]
B ．若x ，y ∈ R ，则[x]+ [y] ≤ [x + y] ≤ [x]+ [y]+1
C ．若n ∈ N* ，x ∈ R ，则[ nx ] = n[ x ]
D ．若n ∈ N* ，x ∈ R ，则
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.命题“ x∈R，2x2－1≤0 ”的否定是________.
13.已知 x>1，x 的最小值为________.
14. 已知正实数a 、b 、c 满足b + c = 1，则 的最小值为_____ ， 的最小值为为__________. .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. (13 分)已知 M = xI4x2－4x－15 > 0},N = xIx2－5x－6 > 0} .
(1)求 M ∩ N =；
(2)求(CR M) U N.
16. (15 分)已知a > 0，b > 0,且 a＋b ＝4.
(1)求ab的最大值；
(2)求的最小值.
17(15 分）解下列不等式：
(1)x2 一 6x + 8 < 0
(3)x2 一 5ax 一 6a2 > 0(a ≠ 0)
18.（17 分）设矩形 ABCD(AB>AD)的周长为 16，如图所示，把它沿对角线 AC 对折后，AB 交 DC 于点 P ，设 AB＝x ，△ADP 的面积为 S.
(1)证明：△ADP≌△CB′P
(2)设 PD=f(x) ，求f(x)的解析式；
(3)求 S 的最大值.
19．（17 分）设集合A = {a1, a2, a3, a4 } ，B = {b1, b2, b3, b4 } ，C = {2, 3, 4, 6} ，新定义：集合A 中所有含n 个元素的子集中n 个元素之和的不同值组成的集合为“ n 元和集 ”，集合A 中所有含n 个元素的子集中最大元素减去剩余所有元素的和的不同值组成的集合为“ n 元差集 ”，特别地，当n = 1 时，认为“剩余所有元素的和 ”的值为0 ．
(1)若A 的“ k 元和集 ”为C ，求：集合A ；
(2)在（1）的条件下，若B 的“ k 元差集 ”为C ，求：对应前提下所有满足条件的A ∩ B 的真子集个数之和；
(3)若集合A ，B 中的元素均为自然数，设b1 = a , b2 = a , b3 = a ，b4 = a ；若A ∩ B 为2 元集且元
素之和为10 且A 的“ 2 元和集 ”中最大元素不超过14 ，求：所有满足条件的A 的“ 3 元差集 ”．
高一年级 数学答案
单选题　C　C　A　　A　　D　　B　　D　B　
AD　 AD 11．【答案】ABD
【详解】由题意，对于任意实数，表示为不超过的极大整数，
设，其中分别是的整数部分，分别是的小数部分，
A项，，故，则，故A正确；
B项，，，
，
∴，B正确；
C项，，，，
∴，故C错误；
D项，，
∴，故D正确；故选：ABD.
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12..答案　 x∈R，2x2－1>0
13.答案　7
14.
【详解】因为，，所以，
所以
，
当且仅当，即时取得最小值；
易知
，
当且仅当第一个不等号可取等号，
当且仅当第二个不等号可取等号.故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15.解　(1)∵4x2－4x－15>0，即(2x－5)(2x＋3)>0，解得x<－ ，或x> ，
∴M＝ ，.............................................2分
又∵x2－5x－6>0，即(x－6)(x＋1)>0，解得x<－1，或x>6，∴N＝{x|x<－1，或x>6}......4分
故M∩N＝.......6分
(2)由(1)得 RM＝ ，..................9分
∴( RM)∪N＝ ..........................13分
16.解　(1)因为a>0，b>0，所以a＋b≥2，
当且仅当a＝b时，等号成立.
因为a＋b＝4，所以2≤4，解得ab≤4，
则ab的最大值是4.......................................7分（没有注明取等条件扣2分）
(2)因为a＋b＝4，所以＋＝(a＋b)·＝.
因为a>0，b>0，所以>0，>0，
所以＋≥2＝8，
当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立，
所以＋＋10≥18，所以≥，
则＋≥，即＋的最小值是..................................15分（没有注明取等扣2分）
17(15分）．
【答案】(1)；.................................5分
(2)；.................................10分
(3)答案见解析.
【详解】（1）由，可得，故解集为；.................................5分
（2）由，则，可得，故解集为；.................................10分
（3）由，.................................11分
当时，得或，故解集为，.................................13分
当时，得或，故解集为..................................15分
18.
解　（1）证明（略）.................................4分
(1)因为矩形ABCD(AB>AD) 的周长为16，由AB＝x，则BC＝8－x.
设PD＝y，由△ADP≌△CB′P，可得DP＝B′P＝y，
在直角△CB′P 中，可得CP＝＝，
又由CP＋PD＝x，可得＋y＝x，整理得y＝，
又因为AB>AD，可得x>4且8－x>0，解得4所以PD的长为y＝，且4(2)由△ADP为直角三角形，
可得S＝(8－x)·y＝(8－x)·＝4·＝48－4· ≤48－4×2＝48－32，.................................15分
当且仅当x＝，即x＝4时，等号成立，
所以△ADP 面积的最大值为48－32..................................17分
19．
【详解】（1）当时，集合含有个元素的子集为，与条件矛盾，
当时，集合含有个元素的子集有，
所以集合的“元和集”为，由已知有，
当时，集合含有个元素的子集有，
不妨设，则，
故集合的“元和集”至少含个元素，与条件矛盾，
当时，集合含有个元素的子集有，
所以集合的“元和集”为，
不妨设，的“元和集”为，
则，，，，
相加可得，故，
所以，故，
当时，集合含有个元素的子集为，
集合的“元和集”为，该集合只有个元素，与条件矛盾，
综上，
当时，满足条件的不存在，
当时，，
当时，；.................................5分
（2）当时，，集合的含有个元素的子集有，
不妨设，则集合的“元差集”为，
由已知，，，故，
此时，其真子集有个，
当时，，集合含有个元素的子集有，
所以集合的“元差集”为，
因为，，
若，
则，
所以，故，
此时，其真子集有个，
若，
则，
所以，故，
此时，其真子集有个，
若，
则，
所以，故，
此时，其真子集有个，
所以所有满足条件的的真子集个数之和，.................................10分
（3）由已知，，都为自然数，
不妨设，则，
因为为元集，且元素之和为，又，
故，
设，则，
因为的“元和集”中最大元素不超过，故，
所以或或或，
当时，，，与条件矛盾，
当时，，，，
此时的含有个元素的子集有，
所以集合的“元差集”为，
当时，，，，
此时的含有个元素的子集有，
所以集合的“元差集”为，
当时，，，，
此时的含有个元素的子集有，
所以集合的“元差集”为，.................................17分

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