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第四章 一次函数
2 认识一次函数
第3课时
一、教学目标
1.理解一次函数在实际问题中的应用场景，掌握建立一次函数关系式解决实际问题的基本方法．
2.能根据实际情境确定函数关系式及自变量取值范围，包括已知自变量求函数值和已知函数值求自变量．
3.经历分析、推导、计算的过程，体会一次函数在生活中的应用，培养数学建模意识和解决实际问题的能力．
二、教学重难点
重点：理解一次函数在实际问题中的应用场景，掌握建立一次函数关系式解决实际问题的基本方法．
难点：能根据实际情境确定函数关系式及自变量取值范围，包括已知自变量求函数值和已知函数值求自变量．
三、教学过程设计
环节一：情景导入
问题：什么是一次函数，什么是正比例函数？
预设答案：
若两个变量 x、y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称 y是x的一次函数.
特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.
情境：某单位需要租一辆45座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司．甲公司的计费标准是直接按里程计费，每千米15元；乙公司除了每千米10元的里程费外，另有固定服务费200元 (不足1km 按1km计算)．
【思考】
如果我们要帮单位选择更经济的方案，应该考虑哪些因素？这与我们学过的什么数学知识相关？
预设答案：每公里的价格、行驶的公里数、其它费用．
设计意图：通过回答什么是一次函数、什么是正比例函数两个问题，让学生对上节课的知识进行回顾与复习.然后通过思考引出本节课的学习内容.
环节二：探究新知
【探究】
某单位需要租一辆45座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司．甲公司的计费标准是直接按里程计费，每千米15元；乙公司除了每千米10元的里程费外，另有固定服务费200元（不足1km 按1km计算）．不妨从具体问题开始．
(1)假设该单位用车里程为30 km，你建议租用哪家公司的客车
(2)假设该单位用车里程为 52km，你建议租用哪家公司的客车
(3)用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同
分析 ：为寻找最优价格方案，设用车里程为x千米，费用为y元．由甲公司的计费标准为每千米15元，则费用表达式为：y甲=15x．由乙公司除了每千米10元的里程费，还有200元的服务费，则费用表达式为：y乙=10x+200．
预设答案：
(1)当用车里程为30km时，甲公司的费用元，乙公司的费用元，此时选择甲公司更划算.
(2)当用车里程为52km时，甲公司的费用元，乙公司的费用元，这时选择乙公司更合适.
(3)可以通过解方程15x=10x+200来求解.移项可得15x-10x=200，即5x=200，解得x=40千米.所以当用车里程为40千米时，两家出租车公司的收费相同.
设计意图：分析两家公司的计费方式，回顾一次函数与正比例函数的表达形式，巩固上节课的知识，同时为后续的学习做好铺垫.
【思考】生活中还有哪些也是相关的计费问题
预设答案：如家庭用水、用电、快递计费等问题．
本质上都是用一次函数的知识解决问题.
【归纳】
在解决成本优化、方案抉择等同类问题时，常见步骤如下：
第一步：实现“现实情境到数学模型” 转化，紧扣实际问题里的数量关系（如 “里程费 + 固定服务费” ），准确设定自变量（里程x）和因变量（费用y），把文字描述的规则转化为表达式：y=kx+b形式．
第二步：已知具体自变量，代入函数算因变量，比较数值选最优.在未知具体自变量时，解方程找临界值，划分不同的最优解区间，覆盖不同实际场景决策需求．
设计意图：通过步骤化归纳，帮助学生形成逻辑严密的决策思维，适应多样化实际场景的需求.
环节三：应用新知
例1 为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准：
(1)当220(2)某户一年用水量是 250m3，求该户这一年的水费;
(3)某户去年一年的水费是1000.5元，求该户去年一年的用水量;
(4)当x>300时，你能写出水费(单位：元)与用水量x之间的关系式吗
预设答案：
(1)当 220< x≤300 时，用水量属于第二档.于是，即 y= 4.83x- 303.6.
(2)当x=250时，带入(1)所得表达式得元.
(3)用水量在第一档时水费最多为：元，第二档时水费最多为：元，因为 759< 1000.5< 1145.4， 所以该户年用水量属于第二档．
设该户年用水量为xm3，由(1)表达式得：1000.5=4.83x- 303.6. 解得x= 270.因此，该户去年一年的用水量为 270 m3．
(4)此时水费y由三部分组成：第一档220 m3水费，第二档(300-220) m3水费以及超出300m3部分的水费，所以.
设计意图：通过水费分档计算的实际问题，让学生进一步掌握分段函数的概念，理解不同区间对应不同的计费规则，强化对分段函数的建模能力.
【思考】
像例1这样计费有什么意义 设计计费规则时要注意什么 生活中还有哪些情况用到类似的计费方法
预设答案：
①引导节约用水，促使市民养成节约用水习惯，减少不必要的水资源浪费，同时保障公共资源分配相对公平.
②科学划分档位，合理确定各个挡位得单价.
③生活中电费计费、燃气费计费、停车费计费也常用类似计费方.
【做一做】
为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准：
(1)求当300(2)计算某户一年用气量是400m3时的用气费;
(3)计算用气费是1311元时的用气量.
预设答案：
　　(1)当300总费用，
所以当300(2)已知400m3满足300<400≤600，将x=400代入(1)中所求关系式得元，所以该用户这一的用气费是1147元.
(3)先判断费用1311元对应的费用档，
当x=300时，费用元，
当x=600时，费用元，
因为819<1311<1803，所以该用户用气量满足300将y=1311代入得方程：1311=3.28x-165，解得x=450，
所以该用户去年一年的用气量是450m3.
环节四：课堂练习
1.“闪送”是1小时同城速递服务，某闪送公司每月给闪送员的工资为：底薪 1700 元，超过 300 单后另加送单补贴(每送一个包惠称为一单)，送单补贴的具体方案如下：
设该月某闪送员送了x单(x>500)，所得工资为y元，则y与x的函数关系式为.
2.假设某城市的出租车起步价为13元，包含3公里的里程，之后每公里收费2.4元.如果乘客乘坐了10公里，那么他需要支付的费用是多少呢
3.为鼓励市民节约用电，某市采用分档计费计算电费，如下表是户年用电量及分档计费标准：
(1)当2760(2)某户年用电量是4000kw h，求该户这一年的电费；
(3)某户去年一年的电费是1834元，求该户去年一年的用电量.
预设答案：
1.因为x>500，所以， 化简得y=7x-800.
2.设乘客需要支付的总费用为x元.由题意知：，解这个方程得：，所以，乘客需要支付29.8元.
3.(1)当0当2760(2)因为2760<4000≤4800，所以把x=4000代入(1)所求表达式得：(元).
(3)第一档最多电费：(元)，
因为1834>1462.8，所以用电量超过第一档，
第二档最多电费：(元)，
因为1834<2646，所以用电量在第二档，
所以，解得x=3400.
所以该用户去年一年得用电量为3400kw h.
设计意图：巩固本节课所学的知识，培养学生掌握选择最优方案的技巧.
环节五：总结归纳
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.(共25张PPT)
认识一次函数
第四章 一次函数
第3课时
数学北师大版八年级上册
1.理解一次函数在实际问题中的应用场景,掌握建立一次函数关系式解决实际问题的基本方法；
2.能根据实际情境确定函数关系式及自变量取值范围，包括已知自变量求函数值和已知函数值求自变量；
3.经历分析、推导、计算的过程，体会一次函数在生活中的应用，培养数学建模意识和解决实际问题的能力.
重点
难点
若两个变量 x、y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称 y是x的一次函数.
特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.
思考 什么是一次函数，什么是正比例函数？
想一想 在实际生活中，能否运用一次函数解决某些问题
思考 如果我们要帮单位选择更经济的方案，应该考虑哪些因素？这与我们学过的什么数学知识相关？
某单位需要租一辆45座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司.甲公司的计费标准是直接按里程计费，每千米15元；乙公司除了每千米10元的里程费外，另有固定服务费200元(不足1km 按1km计算)
每公里的价格、行驶的公里数、其它费用
分析 ：为寻找最优价格方案，设用车里程为x千米，费用为y元.
由甲公司的计费标准为每千米15元，则费用表达式为：y甲=15x.
由乙公司除了每千米10元的里程费，还有200元的服务费，
则费用表达式为：y乙=10x+200.
探究 某单位需要租一辆45座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司.甲公司的计费标准是直接按里程计费，每千米15元；乙公司除了每千米10元的里程费外，另有固定服务费200元(不足1km 按1km计算)
解：当用车里程为30km时:
甲公司的费用 元，
乙公司的费用 元，此时选择甲公司更划算.
探究 某单位需要租一辆45座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司.甲公司的计费标准是直接按里程计费，每千米15元；乙公司除了每千米10元的里程费外，另有固定服务费200元(不足1km 按1km计算)
(1)假设该单位用车里程为30 km，你建议租用哪家公司的客车
解：当用车里程为52km时，
甲公司的费用 元，
乙公司的费用 元，这时选择乙公司更合适.
探究 某单位需要租一辆45座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司.甲公司的计费标准是直接按里程计费，每千米15元；乙公司除了每千米10元的里程费外，另有固定服务费200元(不足1km 按1km计算)
(2)假设该单位用车里程为 52km，你建议租用哪家公司的客车
解：可以通过解方程15x=10x+200来求解.
移项可得15x-10x=200，即5x=200，解得x=40千米.
所以当用车里程为40千米时，两家出租车公司的收费相同
探究 某单位需要租一辆45座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司.甲公司的计费标准是直接按里程计费，每千米15元；乙公司除了每千米10元的里程费外，另有固定服务费200元(不足1km 按1km计算)
(3)用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同
本质上都是用一次函数的知识解决问题.
思考 生活中还有哪些也是相关的计费问题
用水
用电
快递计费
第一步：实现“现实情境到数学模型” 转化，紧扣实际问题里的数量关系（如 “里程费 + 固定服务费” ），准确设定自变量（里程x ）和因变量(费用y )，得到y=kx+b形式.
第二步：已知具体自变量，代入函数算因变量，比较数值选最优.
在未知具体自变量时，解方程找临界值，划分不同的最优解区间，覆盖不同实际场景决策需求.
归纳 在解决成本优化、方案抉择等同类问题时，常见步骤如下：
(1)当220解：当 220< x≤300 时，用水量属于第二档.
于是
即 y= 4.83x- 303.6
计费档 户年用水量x/m3 单价/(元/m3)
第一档 0第二档 220第三档 x>300 5.83
例1 为了鼓励市民节约用水,某市采用分档计费的方式计算水费.下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准：
(2)某户一年用水量是 250m3，求该户这一年的水费;
解：当x=250时，带入(1)所得表达式得 元.
计费档 户年用水量x/m3 单价/(元/m3)
第一档 0第二档 220第三档 x>300 5.83
例1 为了鼓励市民节约用水,某市采用分档计费的方式计算水费.下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准：
(3)某户去年一年的水费是1000.5元，求该户去年一年的用水量；
解：用水量在第一档时水费最多为： 元, 第二档时水费最多为：
元, 759< 1000.5< 1145.4, 所以该户年用水量属于第二档.
设该户年用水量为xm3，由(1)表达式得：1000.5=4.83x- 303.6. 解得x= 270.
因此，该户去年一年的用水量为 270 m3.
计费档 户年用水量x/m3 单价/(元/m3)
第一档 0第二档 220第三档 x>300 5.83
例1 为了鼓励市民节约用水,某市采用分档计费的方式计算水费.下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准：
(4)当x>300时，你能写出水费(单位:元)与用水量x之间的关系式吗
解：此时水费y由三部分组成：第一档220 m3水费，第二档(300-220) m3水费以及超出300m3部分的水费，
所以
计费档 户年用水量x/m3 单价/(元/m3)
第一档 0第二档 220第三档 x>300 5.83
例1 为了鼓励市民节约用水,某市采用分档计费的方式计算水费。下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准:
①引导节约用水，促使市民养成节约用水习惯，减少不必要的水资源浪费，同时保障公共资源分配相对公平.
②科学划分档位，合理确定各个挡位得单价.
③生活中电费计费、燃气费计费、停车费计费也常用类似计费方法.
思考 像例1这样计费有什么意义 设计计费规则时要注意什么 生活中还有哪些情况用到类似的计费方法
计费档 户年用气量x/m3 单价/(元/m3)
第一档 0第二档 300第三档 x>600 3.82
做一做 为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用.下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准:
计费档 户年用气量x/m3 单价/(元/m3)
第一档 0第二档 300第三档 x>600 3.82
做一做 为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用.下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准:
计费档 户年用气量x/m3 单价/(元/m3)
第一档 0第二档 300第三档 x>600 3.82
做一做 为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用.下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准:
(2)计算某户一年用气量是400m3时的用气费；
(3)计算用气费是1311元时的用气量.
设该月某闪送员送了x单(x>500)，所得工资为y元，则y与x的函数关系式为.
1.“闪送”是1小时同城速递服务，某闪送公司每月给闪送员的工资为:底薪 1700 元，超过 300 单后另加送单补贴(每送一个包裹称为一单)，送单补贴的具体方案如下:
送单数量 补贴(元/单)
每月超过300单且不超过500单的部分 5
每月超过500单的部分 7
解：设乘客需要支付的总费用为x元.
由题意知： ，
解这个方程得：
所以，乘客需要支付29.8元.
2.假设某城市的出租车起步价为13元，包含3公里的里程，之后每公里收费2.4元.如果乘客乘坐了10公里，那么他需要支付的费用是多少呢
3.为鼓励市民节约用电，某市采用分档计费计算电费，如下表是户年用电量及分档计费标准：
计费档 户年用电量x/(kw h) 单价/[元/(kw h)]
第一档 0第二档 2760第三档 x>4800 0.83
(1)当2760解：当x=2760时，费用 (元)，
当27603.为鼓励市民节约用电，某市采用分档计费计算电费，如下表是户年用电量及分档计费标准：
计费档 户年用电量x/(kw h) 单价/[元/(kw h)]
第一档 0第二档 2760第三档 x>4800 0.83
(2)某户年用电量是4000kw h，求该户这一年的电费；
解：因为2760<4000≤4800，所以把x=4000代入(1)所求表达式得：
(元).
(3)某户去年一年的电费是1834元，求该户去年一年的用电量.
解：第一档最多电费： (元)，
因为1834>1462.8，所以用电量超过第一档，
第二档最多电费： (元)，
因为1834<2646，所以用电量在第二档，
所以 ，解得x=3400
所以该用户去年一年得用电量为3400kw h.

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