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第四章 一次函数
3 一次函数的图像
第2课时
教学目标
1.经历一次函数图象的作图过程，了解一次函数图象是一条直线，并能用两点法熟练画图.
2.掌握一次函数及其图象的简单性质，并能灵活运用解答有关问题.
3.会求一次函数图象与坐标轴的交点.
4.经历正比例函数和一次函数图象变化情况的探索过程，发展数形结合的意识和能力.
二、教学重难点
重点：能熟练画出一次函数的图象.
难点：引导学生用数形结合法探究得出一次函数的图象特征与性质，以及一次函数与正比例函数的图象之间的关系.
三、教学过程设计
环节一：情境导入
【思考】
教师活动：教师给出问题，让学生回顾思考并作答，教师可给出适当提示.
问题1：什么是函数图象？
预设答案：把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.
追问：正比例函数的图象是什么形状？
预设答案：经过原点的一条直线.
问题2：正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)中，k的正负对函数图象有什么影响？
预设答案：
问题3：正比例函数的画图步骤是什么？
预设答案：
问题4：最快捷、最正确地画出正比例函数的图象时，通常在直角坐标系中选取哪两个点？
预设答案：原点(0，0)和点(1，k).
教师活动：正比例函数y=kx的图象是一条过原点的直线，那么一次函数y=kx+b的图象又是怎样的呢 与正比例函数的表达式相比，表达式多了一个b，b对函数图象会有什么影响
通过本节课的学习，同学们就会明白了，下面就让我们一起来学习本节课的内容.
学生活动：学生举手，回答问题.
设计意图：通过知识回顾，再次明确正比例函数图象的一些特征，为学习本节课的知识作准备.
环节二：探究新知
【探究】
在研究一次函数y=kx+b的图象前，我们先从y=2x+1开始，用列表、描点、连线的方法画一次函数y=2x+1的图象，并观察特征.
解：列表：
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点.
连线：把这些点依次连接起来，得到y=2x+1的图象，它是一条直线.
教师活动：在所画的图象上任意取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否都满足关系式y=2x+1.
教师活动：通过两个点(，4)，(-，－4)
得出结论：它们都满足关系y=2x+1.
【思考】一次函数y=2x+1的图象与正比例函数y=2x 的图象有什么关系？
解：列表：
描点、连线得：
教师活动：
(1)对于自变量x的同一个值，一次函数y=2x+1的函数值比函数y=2x函数值总大1个单位.
(2)对于相同的横坐标，一次函数y=2x+1的图象上点的纵坐标要比正比例函数y=2x图象上点的纵坐标大1.
(3)一次函数y=2x+1的图象是平行于直线y=2x的一条直线.
【思考】一般地，一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=kx 的图象有什么关系 一次函数y=kx+b表达式多了一个b，b对图象会有什么影响
教师活动：
(1)一次函数y=kx+b的图象是一条直线也称为直线y=kx+b，它与正比例函数y=kx的图象相互平行；因此，画一次函数图象时，只要确定两个点，再过这两个点画直线就可以了.
(2)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(0，b)，可以由正比例函数y=kx的图象平移|b|个单位长度得到：
当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移.
【归纳】
由于两点确定一条直线，画一次函数图象时我们只需描点(0，b)和点 ( ，0)或(1，k+b)，连线即可.
学生活动：先交流讨论，再在教师的引导下得出结论.
设计意图：明晰一次函数的图象是一条直线.与前面正比例函数类似，对于一次函数简便画图方法是确定两点画直线.
【做一做】
描点绘出一次函数y=3x+1，y=-x+1，y=3x-2，y=4x-3的图象.
1.列表
描点、连线：
设计意图：进一步熟练一次函数图象的画法，并为下面的“议一议”提供素材.因为已经明确了一次函数的图象是直线，因此只要通过两点画出直线就可以了.
【议一议】
问题：哪个函数y的值随着x值的增大而增大 哪个函数y的值随着x值的增大而减小
答案：(1)一次函数y=3x+1，y=3x-2，y=4x-3的值随x值的增大而增大，
一次函数y=-x+1值随着x值的增大而减小.
追问：(2)随着x值的增大，y的值增大速度最快的函数是哪个
(3)图象与y轴相交于同一点的函数有哪些
(4)哪两个函数的图象相互平行
解析：结合图象和列表数值可知：
(2)函数y=4x-3xy的y值增大速度最快.
(3)函数y=3x+1，y=-x+1图象与y轴相交于同一点.
(4)函数y=3x+1，y=3x-2图象平行.
【思考】
通过前面的探究和思考，针对一次函数解析式y=kx+b(k，b是常数，k≠0)中，k的取值对函数图象有怎么的影响？
(1)当k>0时，y随x的增大而增大，图象自左至右上升，经过的象限中必有第一、三象限.
(2)当k<0时，y随x的增大而减小，图象自左至右下降，经过的象限中必有第二、四象限.
(3)k值相同的两个一次函数图象平行.
【归纳】
通过探究k，b对直线y=kx+b的影响：
学生活动：认真思考并回答.
设计意图：通过小组交流的形式，让学生充分地展开讨论，促进学生对一次函数图象的认识，同时从“形”上认识一次函数.三个问题各有侧重.问题(一)主要讨论k的正负对函数增减性的影响；问题(二)主要讨论直线y=kx+b与y=kx的位置关系，可由画图、数值分析等途径得出；问题(三)着重讨论b的几何意义.
环节三：应用新知
教师活动：教师给出例题，学生先独立思考，然后再小组交流探讨.教师板书一道例题书写过程，其余题目可由学生代表板书完成，最终教师展示答题过程.
【例1】已知点(－2，y1)，(－1，y2)，(1，y3)都在直线y=－3x+b上，则y1，y2，y3的大小关系是 (　　)
A.y2>y1>y3 B.y3>y2>y1
C.y3>y1>y2 D.y1>y2>y3
解析：因为直线y=－3x+b中k=－3<0，
所以y的值随x值的增大而减小；
又因为－2<－1<1，所以y1>y2>y3.故选D.
【例2】 若一次函数y=(a+2)x+a－2的图象不经过第二象限，则a的取值范围为　 .
解：因为一次函数y=(a+2)x+a－2的图象不经过第二象限，所以一次函数的图象经过第一、三、四象限或第一、三象限.
所以a+2>0且a－2<0，或a－2=0，
所以－2【例3】 已知函数y=(m+1)x+m+3.
(1)若函数图象经过原点，求m的值；
(2)若函数图象与y轴交点的纵坐标为－2，求m的值；
(3)若这个函数是一次函数，且y随x的增大而减小，求m的取值范围.
解：(1)因为函数图象经过原点，
所以当x=0时，y=0，即m+3=0，解得m=－3.
(2)因为函数图象与y轴交点的纵坐标为－2，
所以当x=0时，m+3=－2，解得m=－5.
由题意知m+1<0，得m<－1，所以m的取值范围为m<－1.
学生活动：明确例题的做法.
设计意图：通过对具体实例的分析，既让学生掌握做题技能，又让学生进一步理解一次函数中k、b对函数图象的影响.
环节四：课堂练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.函数y=4x－3中，y的值随着x值的增大而 ，它的图象与y轴的交点坐标是 .
2.在一次函数y=kx+2(k≠0)中，若y随x的增大而增大，则它的图象不经过第　 　象限.
3.直线y=2x向下平移2个单位得到的直线是 ( )
A.y=2(x+2) B.y=2(x－2)
C.y=2x－2 D.y=2x+2
4.一次函数y=kx+k的图象大致是 (　 　)
5.x从0开始逐渐增大时，函数y=2x+6和y=5x－2哪一个的值先到达10？哪一个的值先到达20？这说明了什么？
答案：
1.增大，（0，－3）；
2.【解析】　因为在一次函数y=kx+2中，y随x的增大而增大，所以k>0，又因为b=2>0，所以它的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限.
3.C
4.【解析】因为y=kx+k=k(x+1)，所以当x=－1时，y=0，所以直线y=kx+k必过点(－1，0)，结合选项可知选A.
5.解：x从0开始逐渐增大时，函数y=2x+6的值先到达10，y=5x－2的值先到达20；
这说明了当k>0时，一次项系数大的一次函数比一次项系数小的一次函数增长的更快.
学生活动：学生自主完成练习，然后集体交流评价.
设计意图：在练通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五：总结归纳
学生活动：回顾本节课所讲的内容.
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.(共23张PPT)
一次函数的图象
第四章 一次函数
第2课时
数学北师大版八年级上册
1.经历一次函数图象的作图过程，了解一次函数图象是一条直线，并能用两点法熟练画图.
2.掌握一次函数及其图象的简单性质，并能灵活运用解答有关问题.
3.会求一次函数图象与坐标轴的交点.
4.经历正比例函数和一次函数图象变化情况的探索过程，发展数形结合的意识和能力.
重点
难点
思考 什么是函数图像，正比例函数图象是什么形状？
把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象；
正比例函数的图象是经过原点的一条直线.
议一议 正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)中，k的正负对函数图象有什么影响？
y=kx(k≠0) 图象 性质
k＞0 经过第一、三象限，y的值随x值的增大而增大.
k＜0 经过第二、四象限，y的值随x值的增大而减小.
x
y
O
x
y
O
①列表
②描点
③连线
议一议 正比例函数y=kx的图象是一条过原点的直线，那么一次函数y=kx+b的图象又是怎样的呢 与正比例函数的表达式相比，表达式多了一个b，b对函数图象会有什么影响
思考 正比例函数y=kx的画图步骤是什么？
最快捷、最正确地画出正比例函数的图象时，通常在直角坐标系中选取哪两个点？
选取原点(0，0)和点(1，k)
做一做 在研究一次函数y=kx+b的图象前，我们先从y=2x+1开始，用列表、描点、连线的方法画一次函数y=2x+1的图象，并观察特征.
解：列表：
x ... -2 -1 0 1 2 ...
y ... -3 -1 1 3 5 ...
连线：把这些点依次连接起来，得到一条直线y=2x+1的图象.
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点.
y=2x+1
思考 根据前面描点法画出的一次函数y=2x+1的图象，思考问题
(1)y=2x+1的图象是一条直线吗，为什么？
解析：由图可见，一次函数y=2x+1的图象是一条直线
y=2x+1
验证：在所画的图象上任意取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否都满足关系式y=2x+1.
满足
思考 一次函数y=2x+1的图象与正比例函数y=2x 的图象有什么关系？
解：为了便于对比，列出一次函数y=2x+1与正比例函数y=2x的x与y的对应值表：
x ... -2 -1 0 1 2 ...
y=2x ... -4 -2 0 2 4 ...
y=2x+1 ... -3 -1 1 3 5 ...
对于自变量x的同一个值，一次函数y=2x+1的函数值比函数y=2x函数值总大1个单位.
y=2x+1
y=2x
思考 一次函数y=2x+1的图象与正比例函数y=2x 的图象有什么关系？
y=2x+1
y=2x
②一次函数y=2x+1的图象是平行于直线y=2x的一条直线.
由图可见
①对于相同的横坐标，一次函数y=2x+1的图象上点的纵坐标要比正比例函数y=2x图象上点的纵坐标大1.
思考 一般地，一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=kx 的图象有什么关系 一次函数y=kx+b表达式多了一个b，b对图象会有什么影响
①一次函数y=kx+b的图象是一条直线也称为直线y=kx+b，它与正比例函数y=kx的图象相互平行；因此，画一次函数图象时，只要确定两个点，再过这两个点画直线就可以了.
②一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(0，b)，可以由正比例函数y=kx的图象平移|b|个单位长度得到：
当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移.
(0， b)
( ， 0)
与x轴的交点坐标
与y轴的交点坐标
归纳 画一次函数图象时一次函数y=kx+b的图象常用方法
做一做 描点绘出一次函数y=3x+1，y=-x+1，y=3x-2，y=4x-3的图象.
y
x
O
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y=3x+1
y=-x+1
y=3x-2
y=4x-3
x ... 0 1 ...
y=3x+1 ... 1 4 ...
y=-x+1 ... 1 0 ...
y=3x-2 ... -2 1 ...
y=4x-3 ... -3 1 ...
思考 在一次函数y=3x+1，y=-x+1，y=3x-2，y=4x-3中.
(1)哪个函数y的值随着x值的增大而增大
哪个函数y的值随着x值的增大而减小
由图可见：
①函数y=3x+1，y=3x-2，y=4x-3中，y的值随x值的增大而增大，
②函数y=-x+1中，y的值随着x值的增大而减小.
y
x
O
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y=3x+1
y=3x-2
y=4x-3
y=-x+1
思考 在一次函数y=3x+1，y=-x+1，y=3x-2，y=4x-3中.
(2)随着x值的增大，y的值增大速度最快的函数是哪个
(3)图象与y轴相交于同一点的函数有哪些
(4)哪两个函数的图象相互平行
y
x
O
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y=3x+1
y=3x-2
y=4x-3
解析：结合图象和列表数值可知：
(2)函数y=4x-3的y值增大速度最快.
(3)函数y=3x+1，y=-x+1图象与y轴相交于同一点
(4)函数y=3x+1，y=3x-2图象平行.
y=-x+1
思考 通过前面的探究和思考，针对一次函数解析式y=kx+b(k，b是常数，k≠0)中，k的取值对函数图象有怎么的影响？
1. 当k>0时，y随x的增大而增大，图象自左至右上升，经过的象限中必有第一、三象限；
2. 当k<0时，y随x的增大而减小，图象自左至右下降，经过的象限中必有第二、四象限.
3. k值相同的两个一次函数图象平行.
归纳 通过探究k，b对直线y=kx+b的影响：
一次函数y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的图象 k＞0 k＜0 b＞0 b＜0 b＞0 b＜0
图象经过一、二、三象限大 图象经过一、三、四象限 图象经过 一、二、四象限 图象经过
二、三、四象限
当k>0时,y随 x 的增大而增大 (图象是自左向右上升的) 当k<0时,y随 x的增加而减小． (图象是自左向右下降的) 常数项b决定一次函数图象与y轴交点的位置. O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
例1 已知点(-2，y1)，(-1，y2)，(1，y3)都在直线y=-3x+b上，则y1，y2，y3的大小关系是 (　　)
A.y2>y1>y3 B.y3>y2>y1 C.y3>y1>y2 D.y1>y2>y3
解析：因为直线y=-3x+b中k=-3<0，
所以y的值随x值的增大而减小；
又因为-2<-1<1，
所以y1>y2>y3.故选D.
D
例2 若一次函数y=(a+2)x+a-2的图象不经过第二象限，则a的取值范围为　 　.
解：因为一次函数y=(a+2)x+a-2的图象不经过第二象限，
所以一次函数的图象经过第一、三、四象限或第一、三象限.
函数的图象经过第一、三、四象限时：a+2>0且a-2<0；
函数的图象经过第一、三象限时：a-2=0；
所以-2-2例3 已知函数y=(m+1)x+m+3.
(1)若函数图象经过原点，求m的值;
(2)若函数图象与y轴交点的纵坐标为-2，求m的值;
(3)若这个函数是一次函数，且y随x的增大而减小，求m的取值范围.
解：(1)因为函数图象经过原点，
所以当x=0时，y=0，即m+3=0，解得m=-3.
(2)因为函数图象与y轴交点的纵坐标为-2，
所以当x=0时，m+3=-2，解得m=-5.
(3)由题意知m+1<0，得m<-1，所以m的取值范围为m<-1.
1.函数y=4x-3中，y的值随着x值的增大而 ，它的图象与y轴的交点坐标是 .
2.在一次函数y=kx+2(k≠0)中，若y随x的增大而增大，则它的图象不经过第　 　象限.
【解析】因为在一次函数y=kx+2中，y随x的增大而增大，所以k>0，又因为b=2>0，所以它的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限.
增大
(0，-3)
四
3.直线y=2x向下平移2个单位得到的直线是 ( 　)
A.y=2(x+2) B.y=2(x-2) C.y=2x-2 D.y=2x+2
C
4.一次函数y=kx+k的图象大致是 (　 　)
A
D
C
B
【解析】因为y=kx+k=k(x+1)，所以当x=-1时，y=0，所以直线y=kx+k必过点(-1，0)，结合选项可知选A.
A
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
5.x从0开始逐渐增大时，函数y=2x+6和y=5x-2哪一个的值先到达10？哪一个的值先到达20？这说明了什么？
解：x从0开始逐渐增大时，函数y=2x+6的值先到达10，y=5x-2的值先到达20.
这说明了当k>0时，一次项系数大的一次函数比一次项系数小的一次函数增长的更快.

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