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1.1 课时2 三角形的中线、角平分线、高
第一章 三角形
1.理解并掌握三角形的高、中线和角平分线的定义；
2.会识别和绘制三角形的高、中线和角平分线；
3.理解三角形的高、中线和角平分线的基本特征.
小熊和小猫想均分一块蛋糕，如何切呢？
A
B
C
探究一：三角形的中线、角平分线、高的概念及特点.
活动1：如图，橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A处，另一端在边BC上移动. 在这个过程中，观察橡皮筋(线段)的位置的变化. 说说你认为其中特殊的位置.
1.当D为BC的中点时，位置特殊；
2.当AD平分∠BAC时，位置特殊;
3.当AD垂直BC时，位置特殊.
1.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段；
B
A
C
D
如图，点D在BC上，BD＝CD，线段AD是△ABC的中线.
B
A
C
E
如图，点E在BC上，∠BAE＝∠CAE，线段AE是△ABC的角平分线.
三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，
这个角的顶点与交点之间的线段
三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段，简称三角形的高.
如图，AH⊥BC，垂足为H，线段AH是△ABC的边BC上的高.
B
A
C
H
B
C
A
D
E
F
1. 如图，在△ABC中，点D在BC上，且∠BAD＝∠CAD，E是AC的中点，BE，AD相交于点F. 指出图中三角形的角平分线和中线.
解：AD是△ABC的角平分线，
AF是△ABE的角平分线，
BE是△ABC的中线，
DE是△ADC的中线.
B
C
A
D
E
2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，DE⊥AB，垂足为E.指出图中DE，AC分别是哪些三角形的高.
解：∵∠C＝90°，
∴ AC是△ABC，△ACD，△ABD的高，
∵ DE⊥AB，
∴ DE是△ABD，△ADE，△BDE的高.
F
E
D
解：如图， AD是△ABC的中线， AE是△ABC的角平分线，AF是△ABC的高.
B
A
C
探究一：三角形的中线、角平分线、高的概念及特点.
活动2：如图，过点A分别画出△ABC的中线、角平分线、高.并回答后面的问题.
1.三角形的中线、角平分线、高各有几条？
活动3：取一张长方形透明纸，在透明纸上画一个三角形，然后分别作这个三角形的三条角平分线、三条中线、三条高，说说你有什么发现？
B
A
C
B
A
C
B
A
C
角平分线
A
B
C
A
B
C
A
B
C
中线
B
A
C
A
B
C
A
B
C
高
符号语言 基本特征 图示
角平分线
中线
高
∵ AD是△ABC 的角平分线，
∴ ∠BAD＝∠DAC＝∠BAC.
∵ AE是△ABC中BC边上的中线，
∴ BE＝EC＝BC.
∵AF是△ABC中BC边上的高，
∴ AF ⊥BC.
在三角形内部且相交于一点.
在三角形内部且相交于一点.
所在的直线相交于一点，高及高的交点不一定在三角形的内部.
B
A
C
D
证明：如图，过点作，垂足为.
是的高，也是的高.
是的中线，BD＝DC.
又S△ABD＝BD·AH，，
S△ABD＝S△ADC．
H
探究二：三角形的中线、角平分线的应用.
活动1：证明三角形的中线分三角形面积相等.
如图，AD是△ABC的中线.求证：△ABD和△ADC的面积相等.
思考：如何均分小熊的蛋糕呢？
如图，AD是△ABC的角平分线，E是BC延长线上的一点，∠EAC＝∠B. 求证：∠ADE＝∠DAE.
B
A
E
D
C
证明：是的角平分线，
活动2：利用角平分线证明角相等.
1.如图1.1-6，在△ABC中，边AB上的高线画法正确的是( )
B
2. 如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，AF是高. 填空：
(1) BD＝_______＝ _______；
(2) ∠BAE＝________＝ ________；
(3) ∠AFB＝________＝_____°.
B
C
A
D
E
F
CD
BC
∠CAE
∠BAC
∠AFC
90
3. 如图，BD是△ABC的角平分线，∠1＝25°，∠2＝50°.
求证：ED∥BC.
B
C
A
D
E
2
1
证明：是的角平分线，
4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm.
(1) △ABC中AC边上的高是_____，BC边上的高是_____；
(2) 在图中画出AB边上的高CD，并求CD的长；
A
C
B
4cm
3cm
D
解：(2) 因为∠ACB＝90°，CD⊥AB，
所以△ABC的面积＝×AB×CD＝ ×AC×BC，
因为AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm，
所以CD＝＝＝cm。
4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm.
A
C
B
D
(3) 能否在BC边上取一点E，使△ACE与△ABE的面积相等？
E
解：(3) 取BC的中点E，则CE＝BE＝ BC。
因为△ACE的面积＝×CE×AC，
△ABE的面积＝ ×BE×AC，
所以△ACE与△ABE的面积相等。
三角形中的三条重要线段
中线
角平分线
等分三角形的面积
高
有多条高时，考虑等面积法求线段.

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