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1.5 课时1 等腰三角形的性质
第一章 三角形
1.经历等腰三角形性质的探究过程，体验研究几何图形的基本过程；
2.掌握等腰三角形的性质定理，并能应用它们进行计算和证明.
如图，把一张长方形纸片对折，沿虚线剪下并展开．
得到的三角形有什么特征？含有这样特征的三角形我们又怎么定义？
探究一：等腰三角形的性质.
活动1：观察三角形，归纳这样三角形的特点，并思考下列问题.
A
B
C
两条边相等，有两个角相等．
A
B
C
腰
腰
如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC．
有两条边相等的三角形叫作等腰三角形(isosceles triangle)，相等的边叫作腰．
A
B
C
D
证明：作边BC的中线AD，则BD＝CD．
在△ABD和△ACD中，
∴ △ABD ≌ △ACD (SSS).
∴ ∠B＝∠C.
还有其它证明方法吗？请你试一试.
探究一：等腰三角形的性质.
活动2：根据等腰三角形的定义，探究其腰所对的角的数量关系.
A
B
C
等腰三角形中哪两个角相等？如何证明？
法二.证明：作边BC的高线AD，
则∠ADB＝∠ADC＝90°．
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD (SSS).
∴ ∠B＝∠C.
D
A
B
C
D
等腰三角形中哪两个角相等？如何证明？
法三.证明：作∠BAC的平分线AD，则∠BAD＝∠CAD．
在△BAD和△CAD中，
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B＝∠C.
等腰三角形中哪两个角相等？如何证明？
B
A
C
D
法四.证明：如图，在△ABC中，AB＝AC，沿∠BAC
的平分线AD把△ABD翻折.
∵∠BAD＝∠CAD，
∴AB落在射线AC上．
∵AB＝AC，
∴点B与点C重合，
从而△ABD与△ACD重合.
∴∠B＝∠C.
A
B
C
底角
底角
等腰三角形中两个相等的角叫作底角．
等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).
A
B
C
符号语言：
在△ABC中，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C （等边对等角）.
探究一：等腰三角形的性质.
活动3：观察“活动2”的证明过程，说说其中对于等腰三角形的特点你有什么发现.
等腰三角形的性质定理2：
等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”).
注意：应用“三线合一”的前提条件：
一是等腰三角形；二是三线中要具备一线.
符号语言：
在△ABC中，AB＝AC．
(1)∵AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，且BD＝CD；
(2)∵BD＝CD，∴AD平分∠BAC，且AD⊥BC；
(3)∵AD平分∠BAC，∴BD＝CD，且AD⊥BC．
A
B
C
D
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝BD，求证：∠ADB＝∠BAC.
A
B
C
D
探究二：等腰三角形性质的应用.
活动：完成下列情境问题.
思考1：图中有几个等腰三角形？
思考2：与有什么样的数量关系？
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝BD，求证：∠ADB＝∠BAC.
A
B
C
D
证明：∵AB＝AC，AD＝BD，
∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠B(等边对等角)，
∴∠C＝∠BAD.
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB＝∠C＋∠CAD.
∴∠ADB＝∠BAD＋∠CAD.
∴∠ADB＝∠BAC.
探究二：等腰三角形性质的应用.
活动：完成下列情境问题，并归纳等腰三角形性质应用时的注意事项.
1.如图，在△ABC中，点D在BC上，AD＝BD，AB＝AC＝CD.
求∠BAC的度数.
解：设∠B＝x°.
∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝x°.
∴∠ADC＝∠BAD＋∠B＝(2x)°.
∵DC＝AC，∴∠DAC＝∠ADC＝(2x)°.
∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝x°.
∵∠C＋∠DAC＋∠ADC＝180°，
∴x＋2x＋2x＝180.∴x＝36，即∠B＝36°.
∴∠BAC＝180°－36°－36°＝108°.
A
B
C
D
1．在△ABC中，AB＝AC．
(1)如果有一个角等于120°，那么∠A＝____°，∠B＝____°，∠C＝____°；
(2)如果有一个角等于50°，那么另两个角分别等于多少度？
120
30
30
解：如果有一个角等于，有以下两种情况：
①当时，；
②当时，，
．
2．如图的房屋人字梁架中，AB＝AC ，BD＝DC， ∠BAC＝110°，
(1) 求∠B、∠C、∠1、∠2的度数；
(2) 求证：AD⊥BC .
(2) 证明：∵AB＝AC，BD＝DC，
∴ AD⊥BC．
1
2
解： (1) ∵AB＝AC，BD＝DC，
∴∠1＝∠2＝∠BAC．
∵∠BAC＝110°，
∴∠1＝∠2＝55°．
3．如图，AB＝AD，CB＝CD，连接AC，BD. 求证：AC⊥BD．
C
B
A
D
证明：∵AB＝AD，CB＝CD，
∴点A、C在BD的垂直平分线上.
∴ AC垂直平分BD，
∴ AC⊥BD.
4．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．求证：DE＝DF．
D
A
B
C
F
E
证明：连接AD．
∵ AB＝AC，D是BC的中点，
∴ AD平分∠BAC．
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE＝DF.
等腰三角形底边中点到两腰的距离相等.
等腰三角形
定义
性质
有两条边相等的三角形叫作等腰三角形.相等的边叫作腰．
等边对等角
三线合一
等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.
利用全等证明.
利用轴对称性证明.
三线中要具备一线

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