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1.3 课时5 三角形全等判定方法的综合应用
第一章 三角形
1.进一步理解并掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种三角形全等的判定方法及其适用条件；
2.能在具体图形中识别出满足全等条件的两个三角形，并能按照清晰的步骤书写证明过程；
3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理，解决像“证明边相等”、“证明角相等”这类问题.
已知条件 是否全等 图形(或反例) 形式结论
三边
两边一角 两边夹角
两边对角 (非直角)
两角一边 两角夹边
两角对边
三角
SSS
SAS
ASA
AAS
是
是
否
是
是
否
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
1.如图，点E在BD上，AB＝BC，AE＝CE. 求证：AD＝CD.
A
B
C
D
E
问题1.分析待证明的结论，说说AD、CD属于哪两个三角形？
问题2.对于问题1中的“两个三角形”哪对是为证明结论成立有意义的
探究一：如何分析条件，选择合适的方法证明三角形全等.
活动：分析以下条件，选择合适的方法证明三角形全等.
△ABD和△CBD，△AED和△CED
问题3.证问题2中的那对三角形全等需要什么条件？目前有哪些条件？还缺什么条件？
△ABD和△CBD
1.如图，点E在BD上，AB＝BC，AE＝CE. 求证：AD＝CD.
A
B
C
D
E
证法：在△ABE和△CBE中，
∴△ABE≌△CBE(SSS).
∴∠ABE＝∠CBE.
在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD(SAS).
∴AD＝CD.
2.如图，AB⊥BD，ED⊥BD，垂足分别为B，D，点C在BD上，AB＝CD，BC＝DE. 求证：AC与CE垂直且相等.
A
B
C
D
E
问题1.AC、CE属于哪两个三角形？
问题3.要证明△ABC和△CDE全等，有哪些条件，应该用什么方法证明？
问题2.要证AC⊥CE，只要证哪个角是90°？
如何得到这个角是90°？
△ABC和△CDE
2.如图，AB⊥BD，ED⊥BD，垂足分别为B，D，点C在BD上，AB＝CD，BC＝DE. 求证：AC与CE垂直且相等.
A
B
C
D
E
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°.
在△ABC和△CDE中，
∴△ABC≌△CDE (SAS).
∴∠A＝∠ECD，AC＝CE.
∵∠B＝90°,
∴∠A＋∠ACB＝90°.
∴∠ECD＋∠ACB＝90°.
∴∠ACE＝90°.
∴AC与CE垂直且相等.
三角形全等的判定方法及其条件
已知条件 判定方法选择思想 判定方法
两边对应相等 找第三边对应相等 SSS
找这两条已知边的夹角对应相等 SAS
一边一角对应相等 一边及其邻角 找这边的另一个邻角对应相等 ASA
找这边的对角对应相等 AAS
找这个角的另一邻边对应相等 SAS
一边及其对角 找对角之外的任一角对应相等 AAS
两角对应相等 找这两个已知角的夹边对应相等 ASA
找夹边之外的任意一边对应相等 AAS
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，高BD，CE交于点O. 求证：(1) BO＝OC.
证明：(1)BD，CE是高线，，
在△ABD和△ACE中，ABD≌△
，，即.
在△BEO和△CDO中，.
1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，高BD，CE交于点O.
(2) 若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数.
解：(2)
在△BCD和△CBE中，
.
2.如图，∠ABD＝90°，AB＝BD，AC⊥BC，DE⊥BC，垂足分别为C、E.
(1)求证：△ABC≌△BDE；
解：(1)证明：∵AC⊥BC，DE⊥BC，
∴∠C＝∠DEB＝90°.
∴∠D＋∠DBE＝90°.
∵∠ABD＝90°，
∴∠DBE＋∠ABC＝90°，
∴∠D＝∠ABC.
在△ABC和△BDE中，
∴△ABC≌△BDE (AAS).
0
C
D
A
B
E
(2) 判断线段DE，CE，AC之间的数量关系，并证明你的结论.
解：(2) DE＝AC＋CE.
证明如下：∵△ABC≌△BDE，
∴ AC＝BE，BC＝DE.
∵ BC＝BE＋CE，
∴ DE＝AC＋CE.
0
C
D
A
B
E
3.如图，AD，BF相交于点O，AB＝DF. 点E，C在BF上，BE＝FC，AC＝DE. 求证：AO＝DO，BO＝FO.
A
B
C
E
D
F
O
证明： ∵BE＝FC，
∴ BE＋CE＝FC＋CE，
即 BC＝FE.
在△ABC和△DFE中，
∴△ABC≌△DFE (SSS).
∴∠ABO＝∠DFO.
在△ABO和△DFO中，
∴△ABO≌△DFO (AAS).
∴AO＝DO，BO＝FO.
三角形全等的判定方法及其条件
已知条件 判定方法选择思想 判定方法
两边对应相等 找第三边对应相等 SSS
找这两条已知边的夹角对应相等 SAS
一边一角对应相等 一边及其邻角 找这边的另一个邻角对应相等 ASA
找这边的对角对应相等 AAS
找这个角的另一邻边对应相等 SAS
一边及其对角 找对角之外的任一角对应相等 AAS
两角对应相等 找这两个已知角的夹边对应相等 ASA
找夹边之外的任意一边对应相等 AAS

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