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17.1 用提公因式法分解因式
课时1 用提公因式法分解简单的因式
第十七章 因式分解
01
了解因式分解的概念.
02
了解公因式的概念，会用提取公因式法将多项式分解因式.
在求最小公倍数和最大公因数时，往往需要把一个整数分解成几个因数的乘积.
比如33分解成3×11，42分解成2×3×7.
类似于整数的分解，能不能将一个多项式化成几个整式的积的形式呢？若能，这种变形叫作什么呢？
任务一：了解因式分解的概念.
活动1：在跳水比赛中，选手每一跳的得分是根据裁判的评分和难度系数得出的.某单人跳水选手完成了一个难度系数为p的动作，如果有7名裁判进行评分，按照评分规则，去掉两个最高分和两个最低分后，会剩下3个分数a，b，c，选手的得分怎样计算？
pa + pb + pc
p(a + b + c)
或
一个多项式
两个整式的乘积
思考：由上面的结果，你有什么启发？
活动2：运用整式乘法法则或公式填空.
(1) x(x+1)= ； (2) (x+1)(x-1)= ；
(3) (x+1)2 = .
x2 +x
x2 -1
x2 +2x+1
将下列多项式写成整式的乘积的形式，并比一比，这些式子有什么共同点？
(1) x2 +x=( )( ) (2) x2 -1 =( )( )
(3) x2 +2x+1 =( )2
x x+1
x+1 x-1
x+1
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解的定义：
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
pa + pb + pc=p(a + b + c)
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
x2 + x(x+1)
因式分解
整式乘法
是互为相反的变形.
等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积.
下列变形属于因式分解的有（ ）
① 8xy3=2xy·4y2 ;
② ;
③ (x+5)(x-5)=x2-25 ;
④ x2+2x-3=x(x+2)-3 ;
⑤ x2y+xy2=xy(x+y) .
A.4个 B.3个 C.2个 D. 1个
等号左边不是多项式
整式的乘法
不是整式
等号的右边不是积的形式
D
任务二：了解公因式的概念，能用提公因式法进行因式分解.
活动1：观察下面两个多项式，它们有什么共同特点
pa + pb +pc
x2 + x
相同的因式p
相同的因式x
小结：一个多项式中各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.
(1) ma +mb； (2) 5y3 +20y2 ；
(3) a2b－2ab2 +ab ； (4) 4(x-y)+2(x-y)
公因式：5y2
公因式：ab
公因式：m
公因式：2(x-y)
活动2：找出下列各题中的公因式，并归纳确定公因式的一般步骤.
取各项系数的最大公约数
三步确定公因式
③定次数
②定字母
①定系数
取各项中的相同字母
取相同字母的最低次数
当各项都是整数时
可以是单项式，也可以是多项式
活动3：小组互相讨论,完成下列问题.
问题三：分解后的各因式与原多项式有什么关系？
问题二：因式分解的依据是什么？
问题一：你能尝试分解因式pa＋pb＋pc吗
pa＋pb＋pc
= p(a＋b＋c)
问题一：
问题二：
根据分配律的逆运算：
p(a＋b＋c)=pa＋pb＋pc
问题三：分解后的各因式与原多项式有什么关系？
pa＋pb＋pc
= p (a＋b＋c)
公因式p
(pa＋pb＋pc) ÷p所得的商
提公因式法：
一般地，如果多项式中的各项有公因式，可以把公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解的方法叫做提公因式法.
例1　分解因式：　
(1) mx2 + my2；
(2) 3x2 – 4xy2 + x .
解：(1) mx2 + my2
= m(x2 + y2)
分析：(1) 公因式为____
(2)公因式为____
m
x
将 x 提出后，括号内的第三项为 1
(2) 3x2 – 4xy2 + x
= x·3x – x·4y2 + x·1
= x(3x – 4y2 + 1)
思考：在利用提公因式法分解因式时应注意什么？如何检查这个因式分解是否正确？
1.用提公因式法分解因式后，应保证含有多项式的因式中再无公因式.
2.将结果做整式的乘法运算可以检验.
写成乘积的形式
确定公因式
提取公因式
先确定系数，再确定字母和字母的次数
提公因式法分解因式的一般步骤：
确定另一个因式
用多项式除以公因式
回顾本节课所学的内容，回答以下问题.
1.因式分解与整式乘法有什么区别和联系？
2.提公因式法的一般步骤是什么？应用提公因式法分解因式时要注意什么？
1.下列各式由左边到右边的变形中,属于分解因式的是 (　　)　
A.a(x+y)=ax+ay
B.x2-4x+4=x(x-4)+4
C.10x2-5x=5x(2x-1)
D.x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x
C
2.把下列各式分解因式：
（1）4m2 – 2mn；
（2）3ax2 – 6axy + 3a.
解：4m2 – 2mn
= 2m·2m – 2m·n
= 2m(2m – n)
3ax2 – 6axy + 3a
= 3a(x2 – 2xy + 1)
3．判断下列因式分解是否正确，若有错误请改正.
(1)12y+18xy2=3y(4 + 6xy)
(2)3x2 - 6xy+x=x(3x-6y)
(3)- x2+xy-xz=-x(x+y-z)
解：
全部错误，
正确答案：(1)6y(2+3xy) (2)x(3x-6y+1) (3)-x(x-y+z).
17.1 用提公因式法分解因式
课时2 用提公因式法分解稍复杂的因式
第十七章 因式分解
01
能准确地找出各项的多项式公因式进行因式分解.
02
能运用整体思想进行因式分解.
03
会利用因式分解进行简便计算.
确定公因式法分解因式的步骤是什么？
①定系数
②定字母
取各项中的相同字母
③定次数
取相同字母的最低次数
取各项系数的最大公约数
任务：利用提公因式法分解因式.
活动1：把8a3b2+12ab3c分解因式.
分析：
①定系数
②定字母
字母部分都含有ab
③定次数
a最低次数为1，b最低次数为2
系数的最大公约数是4
公因式：4ab2
解：8a3b2+12ab3c
=4ab2 2a2+4ab2 3bc
=4ab2(2a2+3bc).
活动1：把8a3b2+12ab3c分解因式.
思考：如果提出公因式 4ab，另一个因式的两项是否还有公因式？
(8a3b2 + 12ab3c)÷(4ab)
= 2a2b+ 3b2c
还能提出公因式 b
1.用提公因式法分解因式.
(1)4x2y2- 4xy+8xyz2 ; (2)-6m2n-15mn2+30m3n ;
解: (1) 4x2y2- 4xy+8xyz2
=4xy·xy-4xy·1+4xy·2z2)
=4xy(xy-1+2z2).
(2) -6m2n-15mn2+30m3n
=(-3mn)·2m+(-3mn)·5n-(-3mn)·10m2
=-3mn(2m+5n-10m2).　
注意：首项为负，一般先提出符号，后面各项都要变号
活动2：分解因式.
(1) 2a(b + c) – 3(b + c)；
(2) 4(a – b)3 + 8(b – a)2 .
解：(1) 2a(b + c) – 3(b + c)
= (b + c)(2a – 3)
分析：(1) 公因式为_______
(b + c)
公因式可以是一个单项式，也可以是多项式
(2) 4(a – b)3 + 8(b – a)2 .
分析：(2) 公因式为__________
4(a – b)2
解：(2) 4(a – b)3 + 8(b – a)2
= 4(a – b)2·(a – b) + 4(a – b)2·2
= 4(a – b)2(a – b + 2)
(b – a)2 = (a – b)2
思考：(b – a)3 和 (a – b)3相等吗？(b – a)4 和 (a – b)4呢？有什么规律？
(b – a)3 = – (a – b)3
(b – a)4 = (a – b)4
规律：(b – a)n = (a – b)n. （n为偶数）
(b – a)n = –(a – b)n.（n为奇数）
2．判断下列因式分解是否正确，若有错误请改正.
(1)36a3 + 24a2b=6a2(6a + 4b)
(2)a(a – b) + a(a – b)(a + b)=a(a – b)(a + b)
(3)–a3 + a2b2 – a2b=–a2(a + b2 – b)
解：
(1)公因式没有提尽，原式 = 12a2(3a + 2b)
(2)第一项提完漏了1，原式 = a(a – b)(1 + a + b)
(3)提出负号时括号里的项没变号，原式 = –a2(a – b2 + b)
①当公因式是多项式时，把多项式看成一个整体提取公因式；
②分解因式分解到不能分解为止；
③某一项全部提取后，不要漏掉“1”；
④首项有负号常提负号，提负要变号；
⑤检查因式分解的结果是否正确，可用整式的乘法验证.
用提取公因式法分解因式的注意事项：
活动3：计算：
(2)原式＝20.16×(29＋72＋13–14)
＝20.16×100
＝2016.
＝13×20＝260；
解：(1)原式＝3×13×37–13×91
＝13×(3×37–91)
(1)39×37–13×91； (2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16–20.16×14.
方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．
3．利用分解因式计算.
(1)1.992 + 1.99×0.01； (2)5×34 + 4×34 + 9×32.
解：1.992 + 1.99×0.01
= 1.99×1.99 + 1.99×0.01
= 1.99×(1.99 + 0.01)
= 1.99×2
= 3.98
解：5×34 + 4×34 + 9×32
= 5×34 + 4×34 + 32×32
= 5×34 + 4×34 + 34
= 34×(5 + 4 + 1)
= 81×10
= 810
提公因式法分解因式
方法
确定公因式的方法：①定系数；②定字母；③定次数
第一步找公因式；第二步提公因式
注意
1.公因式可以是单项式，也可以是多项式；
2.公因式：要提尽；
3.不要漏项；
4.提负号，要注意变号
应用
简便运算
1.用提公因式法分解因式.
(1)–8x2y2 – 4x2yz + 2xy； (2)(a+b)-(a+b)2 ； (3)x(x-y)+y (y-x) .
解: (1)–8x2y2 – 4x2yz + 2xy= (–2xy)(4xy + 2xz – 1)
(2)(a+b)-(a+b)2=(a+b)(1-a-b).　
(3)x(x-y)+y(y-x)=x(x-y)-y(x-y)=(x-y)2.　
2.利用分解因式计算.
(1)20132+2013–20142； (2)(–2)101+(–2)100.
解：(1) 原式=2013 ×(2013+1) –20142
=2013×2014 –20142
=2014×(2013–2014)
= –2014．
(2)原式=(–2)100 ×(–2+1)
=2100 ×(–1)
= –2100.
解：7y(x-3y)2-2(3y-x)3
=7y(x-3y)2+2(x-3y)3
=(x-3y)2[7y+2(x-3y)]
=(x-3y)2(2x+y)
=12×6=6
3.已知 求7y(x-3y)2-2(3y-x)3的值.
2x+y=6，
x-3y=1，
4.已知m-4n=-3，mn=4，求-m3n+8m2n2-16mn3的值.
解析：本题中m，n不容易求出，可以先分解因式，将所求整式整理成只含m-4n和mn的形式，然后整体代入求值即可.
解：-m3n+8m2n2-16mn3
=-mn(m2-8mn+16n2)
=-mn(m-4n)2 .
因为m-4n=-3，mn=4，
所以原式=-4×(-3)2=-4×9 =-36.

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