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17.2 用公式法分解因式
课时1 用平方差公式分解因式
第十七章 因式分解
01
会运用平方差公式分解因式.
你能一眼看出 992 – 1 是不是 100 的倍数吗？
你能想到我们学过的什么内容？
任务：运用平方差公式分解因式.
活动1：计算：
（1）(x + 5)(x – 5) = ________；
（2）(3x + y)(3x – y) = _________；
（3）(3m + 2n)(3m – 2n) = ___________.
x2 – 25
9x2 – y2
9m2 – 4n2
分解因式：
（1）x2 – 25 = _______________；
（2）9x2 – y2 = _______________；
（3）9m2 – 4n2 = ___________________.
(x + 5)(x – 5)
(3x + y)(3x – y)
(3m + 2n)(3m – 2n)
问题：你发现了什么？
思考：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？和同伴交流.
整式乘法
因式分解
a2 - b2 = ( a + b ) ( a - b )
( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2
是a、b两个数的平方差的形式.
平方差公式：
即两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.
利用平方差公式分解因式：
a2 - b2 = ( a + b ) ( a - b )
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
适用范围：
能够转化为a2-b2或-(a2-b2)等形式的式子.
这里的a和b可以代表一个单项式也可以代表一个多项式.
1.下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
① x2+y2
② x2-y2
③ -x2-y2
④ -x2+y2
⑤ x2-25y2
不能
能
(x+y)(x-y)
不能
能
能
(y+x)(y-x)
(x+5y)(x-5y)
注意：符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成下面的形式:
( )2-( )2
“两项、异号、平方形式”
例1：分解因式：
(1) 4x2-9 ； (2) a2-25b2 .
解：(1) 4x2-9
=(2x)2-32
=(2x+3)(2x-3) ；
(2) a2 – 25b2
=a2 – (5b)2
=(a + 5b)(a – 5b).
分析：(1) ( )2-( )2；
2x
3
(2) ( )2-( )2.
a
5b
例2：分解因式：
(1) x2 – y4； (2) (x + p)2 – (x + q)2 .
解：(1) x2 – y4
=(x)2 – (y2)2
=(x + y2)(x – y2)；
(2) (x + p)2 – (x + q)2
= [(x + p) + (x + q)][(x + p) – (x + q)]
=(2x + p + q)(p – q).
分析：(1) a = ____，b = _____；
x
y2
(2) a = ____，b = _____.
x + p
x + q
整体的数学思想
注意：“两个数”指的是a，b，而不是a2，b2，其中a，b可以是单项式，也可以是多项式
(1)25 – 16x2 (2)–4(x – 2y)2 + 9(x + y)2
解：(1)25 – 16x2=52 – (4x)2
=(5 + 4x)(5 – 4x)
(2)–4(x – 2y)2 + 9(x + y)2
=[3(x + y)]2 – [2(x – 2y)]2
=[3(x + y) + 2(x – 2y)][3(x + y) – 2(x – 2y)]
= (5x – y)(x + 7y)
2.分解因式.
活动2：小组互相讨论，完成下列问题.
问题1：计算下列各题：
(1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)×(101－99)＝400.
(2)原式＝4×(53.52－46.52)
＝4×(53.5＋46.5)×(53.5－46.5)
＝4×100×7=2800.
∴x－y＝－2 ②.
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，
x＋y＝1 ①，
联立①②，得
解得
解题技巧：在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
问题2：已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．
即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n 2=8n.
∵n为整数，
∴8n能被8整除，
解题技巧：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．
问题3：求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
平方差公式分解因式
步骤
a2-b2=(a+b)(a-b)
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
公式
1.下列多项式中，可以用平方差公式进行因式分解的是（　　）
A．x2+4y2 B．-9x2-y2
C．4x-y2 D．-16x2+25y2
D
2.把下列各式分解因式：
(1) 16a2-9b2=_________________;
(2) (a+b)2-(a-b)2=_________________;
(3) (x+3)3-16=_________________;
(4) 4(x+y)2-(x-y)2=_________________.
(4a+3b)(4a-3b)
4ab
(x+7)(x-1)
(x+3y)(3x+y)
3. (1)992-1能被100整除吗？
解：(1)因为 992-1=(99+1)×(99-1)=100×98，
所以(2n+1)2-25能被4整除.
(2)n为整数，(2n+1)2-25能否被4整除？
所以992-1能被100整除.
(2)(2n+1)2-25=(2n+1+5)(2n+1-5)
=(2n+6)(2n-4)
=2(n+3) ×2(n-2)
=4(n+3)(n-2).
17.2 用公式法分解因式
课时2 用完全平方公式分解因式
第十七章 因式分解
01
会运用完全平方公式分解因式.
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？
a2
a
a
b2
b
b
ab
b
a
ab
b
a
将上面的等式倒过来看，能得到：
(a+b)2=a2+2ab+b2
a2+2ab+b2
(a+b)2
=
a +2ab+b 和a -2ab+b 这样的式子叫做完全平方式.
大正方形面积：
任务：运用完全平方公式分解因式.
活动1：观察下面两个式子，回答以下问题.
问题1：每个多项式有几项？
问题3：中间项和第一项、第三项有什么关系？
问题2：每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
三项.
这两项都是数或式的平方，并且符号相同.
中间项是第一项和第三项底数的积的±2倍.
(1) a2+2ab+b2
(2) a2－2ab+b2
思考：如何将完全平方式分解因式？
完全平方公式：
把整式乘法的完全平方公式等号两边互换位置就得到：
(a+b)2=a2+2ab+b2； (a-b)2=a2-2ab+b2.
a2+2ab+b2=(a+b)2； a2-2ab+b2=(a-b)2.
即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
注意:公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式.
1.必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
完全平方式：a2±2ab+b2
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
完全平方式因式分解:
a2±2ab+b2=(a±b)2
完全平方式的特点：
1.下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4; （2）1+4a ;
（3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2;
（5）x2+x+0.25.
是
（2）因为它只有两项；
不是
（3）4b 与-1的符号不统一；
不是
分析：
不是
是
（4）因为ab不是a与b的积的2倍.
例1：分解因式：
(1) x2 + 4x + 4； (2) 16x2 – 24x + 9.
分析：(1)
解：(1) x2 + 4x + 4= x2 + 2·x·2 + 22= (x + 2)2
例1：分解因式：
(2) 16x2 – 24x + 9.
分析：
(2)
解：(2) 16x2 – 24x + 9= (4x)2 – 2·4x·3 + 32= (4x – 3)2
例2：分解因式：
(1) (a + b)2 – 12(a + b) + 36； (2) – x2 + 4xy – 4y2.
分析：(1)将a+b看作一个整体，设a+b=m，原式=m2 – 12m + 36
解：(1) (a + b)2 – 12(a + b) + 36
= (a + b)2 – 2·(a + b)·6 + 62
= (a + b – 6)2
m2
62
2·m·6
例2：分解因式：
(2) – x2 + 4xy – 4y2.
分析：(2)可通过添括号将原式写成- ( x2 - 4xy + 4y2 ).
x2
(2y)2
2·x·2y
解：(2) – x2 + 4xy – 4y2
= – (x2 – 4xy + 4y2)
= – [x2 – 2·x·2y + (2y)2]
= – (x – 2y)2
思考：运用完全平方公式分解因式应注意什么？
（1）先找平方项，再运用公式；
（2）平方项可以是单项式，也可以是多项式；
（3）若平方项前面是负号，先把负号提到括号前面，再考虑用完全平方公式.
例3：分解因式：
(1)1002－2×100×99+99 ； (2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=(100－99)
(2)原式=(34＋16)2
=1.
=2500.
注意：本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.
对比：
利用乘法公式分解因式 原公式 分解因式公式
平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2 a2±2ab+b2=(a±b)2
把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式，运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法.
完全平方公式分解因式
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
特点
1.必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？
(1)a2+b2-2ab (2)x2-6x+9
(3)4m2+4 (4)a2+4ab-4b2
解：(1)是，a2+b2-2ab=a2-2ab+b2=(a-b)2；
(2)是，x2-6x+9=(x-3)2；
(3)不是，完全平方式是三项式（或可以看成三项的）；
(4)不是，完全平方式有两个同号的平方项.
2.把下列多项式因式分解.
(1)x2－12x+36; (2)4(2a+b)2-4(2a+b)+1; (3) – 9 – 12t – 4t2.
(2)原式=[2(2a+b)] － 2·2(2a+b)·1+1 =(4a+2b－1)2.
解：(1)原式 =x2－2·x·6+62=(x－6)2.
(3)原式= – (9 + 12t + 4t2)= – [32 + 2·3·2t + (2t)2]= – (3 + 2t)2.
解：原式=(2020)2-2×2020×2019+(2019)2
3.计算：20202-2020×4038+20192.
=(2020-2019)2
=1
17.2 用公式法分解因式
课时3 较复杂的因式分解问题
第十七章 因式分解
01
能综合运用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解.
02
能运用十字相乘法解决二次项系数为1的的因式分解分解因式.
我们学习了哪些因式分解的方法？
提公因式法；
公式法：
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
任务一：综合运用提公因式法、平方差公式进行因式分解.
活动1：小组互相讨论，完成下列问题.
分解因式：(1) x4 – y4 (2) a3b – ab.
问题1：用什么方法分解因式(1)，你发现了什么？
分析：可以用平方差公式分解因式，其中 a = ____，b = ____
x2
y2
分解因式要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
解：(1) x4 – y4= (x2)2 – (y2)2= (x2 + y2)(x2 – y2)
还能用平方差公式再分解
= (x2 + y2)(x + y)(x – y)
问题2：用什么方法分解因式 (2) a3b – ab，你发现了什么？
解：(2)a3b – ab=ab(a2 – 1)
分析：可以用提公因式法分解因式
还能用平方差公式再分解
= ab(a + 1)(a – 1)
对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法.
1.将下列各式因式分解：
(1)m3n-9mn； (2)m2(x+y)-n2(x+y).
解：(1)m3n-9mn=mn(m2-9)
=mn(m+3)(m-3).
(2)m2(x+y)-n2(x+y)=(x+y)(m2-n2)
=(x+y)(m+n)(m-n).
活动2：小组互相讨论，完成下列问题.
分解因式：(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2 (2) – ax2 + 2a2x – a3.
问题：上面两个式子需要用公式法分解因式吗？你发现了什么？
分析：(1)不符合公式法的形式，但有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式.
解：(1)3ax2 + 6axy + 3ay2=3a(x2 + 2xy + y2)
还能用完全平方公式再分解
= 3a(x + y)2
分解因式：(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2 (2) – ax2 + 2a2x – a3.
分析：(2)不符合公式法的形式，但有公因式-a，应先提出公因式，再进一步分解因式.
解：(2)– ax2 + 2a2x – a3= –a(x2 – 2ax + a2)
还能用完全平方公式再分解
= –a(x – a)2
思考：对于需要综合运用提公因式法、公式法的较复杂的因式分解问题，应注意什么？
因式分解的步骤：
(1)如果多项式的各项含有公因式，那么应先提取公因式；
(2)再用公式法因式分解.
分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
2.将下列各式因式分解：
(1) 3m2n-12mn+12n； (2) x4-8x2y2+16y4.
解：(1)3m2n-12mn+12n=3n(m2-4m+4)
=3n(m-2)2．
(2)x4-8x2y2+16y4=(x2-4y2)2
=(x-2y)2(x+2y)2．
任务二：运用十字相乘法分解因式.
活动：边长为x米的正方形菜地，两边分别增宽p米和q米，请问你能用几种方法表示新地的面积？有什么发现
x
x
p
q
x
x
方法一：(x+p)(x+q)
方法二：x +(p+q)x+pq
x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)
问题：观察多项式的一次项系数和常数项有什么联系？
竖分二次项系数和常数项
交叉相乘
x2 + (p + q)x + pq
1
1
p
q
×
1·q
x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)
1·p
+ = p + q
积相加
利用十字交叉线来分解二次三项式的分解因式的方法叫做十字相乘法.
例：分解因式.
(1) x2 + 3x + 2
(2) x2 – 2x – 8
1
1
1
2
1×1 + 1×2 = 3
解：(1)x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)
(2) x2 – 2x – 8 = (x + 2)(x – 4)
分析：(1)
1
1
2
-4
1×2 + 1×(-4) = -2
(2)
较复杂的因式分解问题
1.如果多项式的各项含有公因式，那么应先提取公因式，再用公式法因式分解
2.需要多次运用公式法.
3.对于二次项系数为1的二次三项式若有：
x +mx+n=(x+p)(x+q) (m=p+q，n=pq)
可用十字相乘法因式分解
1.下列因式分解正确的是（　　）
A．2a2-4a+2=2(a2-2a+1) B．4a3-12a2+9a=a(4a2-12a+9)
C．64x2y4-4x2=4x2(4y2+1)(4y2-1) D．4x2-3y(4x-3y)=(2x-3y)2
D
2.分解因式：
(1)(x-8)(x+2)+6x= ．
(2) x3-2x2+x= ．
(3)x +8x+15= ．
(x+4)(x-4)
x(x-1)2
(x+3)(x+5)
3.先因式分解，再求值：(9x2+12xy+4y2)-(2x-3y)2，其中x=1，y=-1．
解：(9x2+12xy+4y2)-(2x-3y)2=(3x+2y)2-(2x-3y)2
=(3x+2y+2x-3y)(3x+2y-2x+3y）
=(5x-y)(x+5y).
当x=1，y=-1时，
原式=(5+1)×(1-5)=6×(-4)=-24．

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