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北师大版九年级下 2.2 二次函数的图象与性质 同步练习
一．选择题（共10小题）
1．抛物线y=3（x-1）2+2的顶点坐标为（　　）
A．（-1，2） B．（1，-2） C．（1，2） D．（2，1）
2．关于抛物线y=-2（x+1）2+3，下列说法错误的是（　　）
A．开口方向向下
B．当x＜-1时，y随x的增大而减小
C．对称轴是直线x=-1
D．经过点（0，1）
3．已知二次函数y=2x2-8x+9，当1≤x≤5时，函数y的最大值为（　　）
A．1 B．3 C．9 D．19
4．下列函数中不能由函数y=-3x2经过平移得到的是（　　）
A．y=-3x2+2 B．y=-3（x-1）2
C．y=-3（x-3）2+2 D．y=3（x+2）2-3
5．抛物线y=（x+2）2+1+a2（a是常数）的顶点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．函数y=ax+1与y=ax2+bx+1（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
7．将抛物线y=2x2向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的抛物线是（　　）
A．y=2（x+2）2+1 B．y=2（x+2）2-1
C．y=2（x-2）2+1 D．y=2（x+1）2-2
8．抛物线y=x2-2ax+a2+a+1的顶点在第二象限，则常数a的取值范围是（　　）
A．-1＜a＜0 B．a＞1 C．-1＜a＜2 D．a＜-1或a＞2
9．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax-b+1与y=cx+b的图象不可能是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1，结合图象给出下列结论：
①abc＞0；
②4a-2b+c＜0；
③3a+c＜0；
④（a+c）2＜b2；
⑤若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c=0的两根，则方程a（x-x1）（x-x2）+3=0的两根m,n（m＜n）满足a（m-x1）（n-x2）＞0．
其中正确结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共5小题）
11．二次函数y=（k-1）x2-k的图象开口向______．
12．将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后所得到的抛物线解析式是 ______．
13．A（x1，y1），B（x2，y2）是二次函数y=2x2的图象上的两点，如果x1＜x2＜0，那么y1______y2．（填“＞”“=”或“＜”）
14．已知二次函数y=ax2+bx-1（其中a≠0，a,b是常数）的图象过点（1，-5），则2a+2b=______．
15．如图，抛物线y1=a（x+1）2-5与抛物线y2=-a（x-1）2+5（a≠0）交于点A（2，4），B（m,-4），若无论x取任何值，y总取y1，y2中的最小值，则y的最大值是 ______．
三．解答题（共5小题）
16．已知抛物线解析式为y=x2-1．
（1）求该抛物线开口方向，对称轴；
（2）求抛物线与x轴，y轴的交点．
17．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2-2tx+1．
（1）求抛物线的对称轴（用含t的式子表示）；
（2）若点M（t-2，m），N（t+3，n）在抛物线y=x2-2tx+1上，试比较m、n的大小；
（3）P（t+1，y1），Q（2t-4，y2）是抛物线y=x2-2tx+1上的两点，且均满足y1≥y2，求t的最大值．
18．已知二次函数y=-2x2+4x+1．
（1）用配方法把这个二次函数的解析式化为y=a（x+m）2+k的形式；
（2）写出这个二次函数图象的开口方向，顶点坐标和对称轴；
（3）将该抛物线向左平移m（m＞0）个单位，使经过点（2，-5），求m值．
19．俄罗斯人与乌克兰人本是同根同源的罗斯人，现在却背道而驰，正如y2=ax与y=ax2，定义：y2=ax叫做函数y=ax2的“罗斯函数”．如：y2=x就是y=x2的“罗斯函数”．形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数y=ax2（a≠0的常数），若点（m,n）在函数y=ax2的图象上，则点（-m,n）也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于y轴对称．
根据上面的定义和提示，解答下列问题：
（1）y2=x的图象的对称轴是 ______；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出y=2x2的“罗斯函数”的大致图象；
（3）若直线y=kx-4k（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，与y=2x2的“罗斯函数”图象交于C、D两点，过点D作DE⊥x轴，垂足为点E，过点C作CF⊥x轴，垂足为点F，若△AFC与△AED的面积比为1：4，求k的值．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线y=mx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y=-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C．
（1）当m=2时，求A，B，C，D四点的坐标；
（2）在（1）的基础上，若点P是抛物线CD段上的一个动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标．
北师大版九年级下 2.2 二次函数的图象与性质 同步练习
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、C 2、B 3、D 4、D 5、B 6、C 7、A 8、A 9、B 10、C
二．填空题（共5小题）
11、下； 12、y=-（x-1）2+3； 13、＞； 14、-8； 15、4；
三．解答题（共5小题）
16、解：（1）抛物线解析式为y=x2-1中，a=1＞0，
∴该抛物线开口方向向上，对称轴为y轴，
（2）令x=0，则y=-1，
令y=0，则x=±1
∴抛物线与x轴的交点为（1，0）及（-1，0），y轴的交点为（0，-1）．
17、解：（1））∵y=x2-2tx+1=（x-t）2-t2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x=t；
（2）∵点M（t-2，m），N（t+3，n）在抛物线y=x2-2tx+1上，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=t,
又∵|t-（t-2）|=2，|t-（t+3）|=3，2＜3，
∴点N（t+3，n）离抛物线y=x2-2tx+1的对称轴距离较大，
∴n＞m；
（3）∵抛物线的开口向上，对称轴为直线x=t,
∴点P在抛物线y=x2-2tx+1对称轴的右侧，
∵y1≥y2，
①当点Q在对称轴的右侧或在对称轴上，且在点P的左侧或与点P重合时满足条件，
∴2t-4≥t且2t-4≤t+1，
解得4≤t≤5；
②当点Q在对称轴的左侧，且点Q到抛物线对称轴的距离小于或等于点P到对称轴的距离时满足条件，
∴2t-4＜t,t-（2t-4）≤t+1-t,
解得3≤t＜4，
综上所述：当3≤t≤5时，满足题意．
∴t的最大值为5．
18、解：（1）y=-2x2+4x+1
=-2（x-1）2+3，
即y=-2（x-1）2+3；
（2）因为a=-2，
所以该抛物线的开口方向向下，
由y=-2（x-1）2+3知，抛物线的顶点坐标是（1，3），对称轴为直线x=1；
（3）将该抛物线向左平移m（m＞0）个单位得到y=-2（x-1+m）2+3，
∵平移后的抛物线经过点（2，-5），
∴-2（2-1+m）2+3=-5，
解得m=1或m=-3，
∵m＞0，
∴m=1．
19、解：（1）∵点（m,n）和点（m,-n）都在y2=x的图象上，
故y2=x的图象关于x轴对称，
故答案为：x轴；
（2）函数的大致图象如下：
（3）∵△AFC与△AED的面积比为1：4，
∴GF：DE=1：2，
设GF=|n|，则DE=|2n|，
∴G（，n），D（2n2，-2n），
将点G、D的坐标代入y=kx-4k得，，整理得3n2-12=0，
解得n=±2，
∴G（2，2）或（2，-2），
∴2=2k-4k,
解得k=±1．
20、解：（1）由题意，∵直线y=mx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴A（2，0），B（0，-2m）．
∵y=-（x-m）2+2，
∴抛物线的顶点为D（m,2）．
令x=0，则y=-m2+2，
∴C（0，-m2+2）．
当m=2时，-2m=-4，-m2+2=-2，
∴B（0，-4），C（0，-2），D（2，2）．
（2）由（1）可知，直线AB的解析式为：y=2x-4，抛物线的解析式为：y=-x2+4x-2，
如图，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，
设点P的横坐标为t,
∴P（t,-t2+4t-2），E（t,2t-4），
∴PE=-t2+4t-2-（2t-4）=-t2+2t+2，
∴△PAB的面积为：×（2-0）×（-t2+2t+2）=-（t-1）2+3．
∵-1＜0，
∴当t=1时，△PAB的面积的最大值为3，
此时P（1，1）．

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