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北师大版九年级下 3.4 圆周角与圆心角的关系 课后巩固
一．选择题（共10小题）
1．（2025 东川区二模）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABO=40°，则∠C的度数是（　　）
A．40° B．50° C．55° D．60°
2．（2025 荥阳市模拟）如图，量角器0°-180°线和含30°角的直角三角板的斜边重合，点D是量角器外边缘上一点，则图中∠ADB的度数是（　　）
A．60° B．50° C．40° D．30°
3．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠BCD=38°，则∠ABD的大小为（　　）
A．76° B．52° C．50° D．38°
4．如图，点A，B，C在⊙O上，∠C=20°，则∠AOB的度数为（　　）
A．40° B．30° C．20° D．10°
5．如图，点A、B、C在⊙O上，∠OBC=18°，则∠A=（　　）
A．18° B．36° C．72° D．144°
6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，∠C=35°，则∠BOD的度数是（　　）
A．80° B．100° C．105° D．110°
7．如图，在⊙O中，已知OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（　　）
A．35° B．30° C．45° D．70°
8．如图，AB是⊙O的直径，AE、CE、CB为⊙O的弦，，AE=12，则tan∠BCE（　　）
A． B． C． D．
9．题目：“如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将⊙O位于DE右边的部分沿DE翻折，交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，求FB的长．”对于其答案，甲答：2，乙答：2-，丙答：2+，则正确的是（　　）
A．只有甲答得对
B．乙、丙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整
D．三人答案合在一起才完整
10．如图，在正三角形ABC中，AB=4，D，E分别是AB，AC的中点，以DE为直径作⊙F，P是边BC上的动点，连接FP，以FP为直径作半圆交⊙F于点Q，则线段PQ长的最小值是（　　）
A．1 B． C． D．2
二．填空题（共5小题）
11．如图，⊙O的半径为6，A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于点D，∠BAC=120°，则线段BC的长为______．
12．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若∠CAB=50°，则∠D的度数为______．
13．如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，∠BCD=25°，则∠AOD的度数为______．
14．如图，在△ABC中，∠B=90°，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，连接OC，OD．若，则sin∠COD的值为 ______．
15．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OE=BE．点P是劣弧上任意一点（不与点A，D重合），CP交AB于点M，AP与CD的延长线相交于点F，设∠PCD=α．
①则∠F=______，（用含α的代数式表示）；
②当∠F=3∠PCD时，则=______．

三．解答题（共5小题）
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，且点D为弦AB所对优弧的中点，连接OD，分别延长AD、BC相交于点M．
（1）求证：AC=CM；
（2）若，BC=3，求直径AC的长．
17．如图，⊙O的两条弦AB⊥CD，垂足为E，点F在⊙O上，DB平分∠CDF，连接AF，分别交BD于G，CD于H．
（1）求证：DF=DH；
（2）连接EG，若∠CDF=45°，⊙O的半径为2，求EG的长．
18．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以BC为直径作⊙O交AB于点D，点E在上，且=，连接BE，CE，CE交AB于点F．
（1）求证：AC=CF；
（2）若，，求⊙O的半径．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交BA的延长线于点E，连接AD，CE，DE．
（1）求证：∠BAD=∠CED；
（2）若CD=20，tan∠CDE=，求AB的长．
20．如图1，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，，CE分别交AD、AB于点F、G．
（1）求证：FA=FG；
（2）如图2，若点E与点A在直径的两侧，AB、CE的延长线交于点G，AD的延长线交CG于点F．问（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
北师大版九年级下 3.4 圆周角与圆心角的关系 课后巩固
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、B 2、D 3、B 4、A 5、C 6、D 7、A 8、A 9、D 10、B
二．填空题（共5小题）
11、； 12、40°； 13、130°； 14、； 15、60°-α；；
三．解答题（共5小题）
16、（1）证明：如图，延长DO，交AB于F，
∵点D为弦AB所对优弧的中点，
∴DF⊥AB，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴MB∥DF，
∴∠M=∠ODA，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠M=∠OAD，
∴AC=CM；
（2）解：设⊙O的半径为R，则AC=CM=2R，
∵BC=3，
∴MB=MC+BC=2R+3，
∵MB∥DF，OA=OC，
∴AD=DM=2，
∴AM=4，
在Rt△ABM中，AB2=AM2-BM2=（4）2-（2R+3）2，
在Rt△ABC中，AB2=AC2-BC2=（2R）2-32，
∴（4）2-（2R+3）2=（2R）2-32，
解得：R1=，R2=-4（舍去），
∴AC=5．
17、（1）证明：∵AB⊥CD，
∴∠AED=90°，
∵DB平分∠CDF，
∴∠BDE=∠BDF，
又∠BAG=∠BDF，
∴∠BAG=∠BDE，
又∵∠AHE=∠DHG，
∴∠DGH=∠AED=90°，
∴∠B+∠BDE=90°=∠BED+∠DHG，
∴∠DHG=∠B=∠F，
∴DF=DH；
（2）解：如图，连接AC，OC，OF，CF，
∵∠ACD=∠AFD=∠DHG，∠DHG=∠AHC，
∴∠ACH=∠AHC，
∴AC=AH，
又∵AB⊥CD，
∴E为CH的中点．
由（1）知DF=DH，∠DGH=90°，
∴G为FH的中点，
∴EG是△CHF的中位线，
∴．
∵∠CDF=45°，
∴∠COF=2∠CDF=90°，
∴△OCF是等腰直角三角形，
∴CF=OC．
∵OC=2，
∴，
∴．
18、解：（1）连接CD，
∵，
∴∠DCE=∠CBD，
∵BC为直径，∠ACB=90°，
∴∠CDB=90°，
∴90°-∠DCE=90°-∠CBD，即：∠CFD=∠CAB，
∴AC=CF，
（2）过点F作FH⊥CB，交CB于点H，
∵，AC=CF，，
∴，即：，
解得：，
∵，
∴∠CBD=∠FBE，
∴，
∴，
∴设BE=x,则BC=4x,CO=2x,
∴CE=x=，
解得：x=1，
∴CO=2x=2×1=2，
故答案为：⊙O的半径为2．
19、（1）证明：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD，
∵∠CAD=∠CED，
∴∠BAD=∠CED；
（2）解：∵∠CDE=∠CAE，
∴tan∠CDE=tan∠CAE=，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，
∴tan∠CAE==，
设AE=7x,则CE=24x,
∴AC==25x,
∴AB=AC=25x,
∴BE=AB+AE=32x,
∵BD=CD，CD=20，
∴BC=2CD=40，
在Rt△BEC中，BE2+CE2=BC2，
∴（32x）2+（24x）2=402，
∴x=1（负值已舍），
∴AB=25．
20、（1）证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠ACE+∠AGC=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°，
∵，
∴∠ACE=∠ABD，
∴∠DAB=∠AGC，
∴FA=FG；
（2）解：（1）中的结论成立，理由如下：
∵BC为直径，
∴∠BAC=90°，
即∠GAC=90°，
∴∠ACG+∠AGC=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°，
∵，
∴∠ABD=∠ACG，
∴∠AGC=∠DAB，
∴FA=FG．

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