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华东师大版九年级上 23.4 中位线 课后巩固
一．选择题（共10小题）
1．如图，在一次数学实践活动中，同学们为估测被花坛隔开的A，B两处之间的距离，先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点D，E，并步测出DE的长约为12m,由此估测A，B之间的距离约为（　　）
A．18m B．24m C．36m D．54m
2．如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF：BF=3：2，连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若CM=16，则线段BC的长为（　　）
A．13 B．14 C．12 D．10
3．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是（　　）
A．3 B．2 C． D．4
4．图1是两个小朋友玩跷跷板的实物图，图2是其示意图，支柱MN垂直于地面，点M，N分别是AB，CD的中点，MN=35cm,那么小朋友在游戏中，点B离地面的最大高度是（　　）
A．60cm B． C．70cm D．
5．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=13，AC=8，则DF的长为（　　）
A．3 B．1.5 C．2 D．2.5
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点N是BC边上一点．点M为AB边上的动点（不与点B重合），点D，E分别为CN，MN的中点，则DE的取值范围为（　　）
A． B．3≤DE＜4 C．3≤DE≤4 D．
7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且，连接EF，若AB=6，BC=8，则EF的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．
8．如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB=6，BC=9，则EF的长为（　　）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
9．如图，△ABC中D、E分别是AB、AC的中点，F是DE上一点，AF⊥CF，若BC=14，DF=1，则边AC的长是（　　）
A．14 B．13 C．12 D．11
10．如图，△ABC中，AB=8，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，若EF=1，则边AC的长度等于（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
二．填空题（共5小题）
11．A、B两点被池塘隔开（如图），在AB外选一点C，连接AC和BC并分别找出其中点M、N，若测得MN=100m,则A、B两点的距离为______．
12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，AC=6，BD=10，E、F分别是OA、OB的中点．设EF的长为x,则x的取值范围是______．
13．如图，CD是△ABC的中线，点E、F分别是AC、DC的中点，EF=1，则BD=______．
14．如图，D是△ABC的BC边的中点，AE平分∠BAC，AE⊥CE于点E，且AB=10，AC=16，则DE的长度为______．
15．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为______．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春 丹阳市期中）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，垂足为D，点G是BC的中点．
（1）求证：DG∥AB；
（2）若DG=2，AC=5，则AB= ______．
17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使，连结DE，DF，DE交AF于点P．
（1）求证：AP=FP；
（2）若BC=10，求DF的长．
18．如图，在△ABC中，AB=BC=15，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，连接AF，E为AF的中点，AF、BD交于点G，连接DE．
（1）若BF=3，求DE的长；
（2）若点F在直线BC上，当DE=5时，求BF的长．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，延长CE交AB于点D．
（1）求证：CE=DE；
（2）若点F为BC的中点，求EF的长．
20．定义：至少有一组对边相等的凸四边形为等对边四边形．如图，已知四边形ABCD，点E，F是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，连接EF，FG，EG，△EFG为等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是“等对边四边形”；
（2）若∠BAC+∠BDC=180°，求∠DBC的度数．
华东师大版九年级上 23.4 中位线 课后巩固
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、B 2、C 3、A 4、C 5、D 6、D 7、B 8、C 9、C 10、C
二．填空题（共5小题）
11、200m； 12、1＜x＜4； 13、2； 14、3； 15、；
三．解答题（共5小题）
16、（1）证明：如图，延长CD交AB于E，
∵AD平分∠BAC，CD⊥AD，
∴∠EAD=∠CAD，∠ADE=∠ADC=90°，
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（ASA），
∴CD=DE，
∵点G是BC的中点，
∴DG是△AEB的中位线，
∴DG∥AB；
（2）解：由（1）可知：△ADE≌△ADC，DG是△AEB的中位线，
∴AE=AC=5，BE=2DG=4，
∴AB=AE+BE=5+4=9，
故答案为：9．
17、（1）证明：连接EF，AE．
∵点E，F分别为BC，AC的中点，
∴EF∥AB，EF=AB．
又∵AD=AB，
∴EF=AD．
又∵EF∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形．
∴AF与DE互相平分，
∴AP=FP；
（2）解：在Rt△ABC中，
∵E为BC的中点，BC=10，
∴AE=BC=5．
又∵四边形AEFD是平行四边形，
∴DF=AE=5．
18、解：∵BC=15，BF=3，
∴FC=BC-BF=15-3=12，
∵AB=BC，BD平分∠ABC，
∴AD=DC，
∵AE=EF，
∴DE是△AFC的中位线，
∴DE=FC=×12=6；
（2）①当F在线段BC上时，由（1）得FC=2DE=10，
∴BF=BC-FC=15-10=5；
②当F在线段CB延长线上时，如图1，
由（1）得FC=2DE=10＜BC=15，此情况不成立；
③当F在线段BC延长线上时，如图2，由（1）得FC=2DE=10，
∴BF=BC+FC=15+10=25；
综上所述：BF的长为5或25．
19、（1）证明：∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠BAE，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC=∠AED=90°，
在△AEC和△AED中，
，
∴△AEC≌△AED（ASA），
∴CE=DE；
（2）在Rt△ABC中，∵AC=6，BC=8，
∴，
∵△AEC≌△AED，
∴AD=AC=6，
∴BD=AB-AD=4，
∵点E为CD中点，点F为BC中点，
∴．
20、（1）证明：∵△EFG为等边三角形，
∴EG=FG，
∵点E，F是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，
∴EG是△CBA的中位线，FG是△BCD的中位线，
∴CD=2FG，AB=2EG，
∴CD=AB，
∴四边形ABCD是“等对边四边形”；
（2）解：过B作BM⊥CA交CA延长线于M，过C作CN⊥BD于N，
∵∠BAC+∠BDC=180°，∠BAC+∠BAM=180°，
∴∠BAM=∠CDN，
∵∠AMB=∠DNC=90°，AB=DC，
∴△BAM≌△CDN（AAS），
∴BM=CN，
∵BC=CB，
∴Rt△BCM≌Rt△CBN（HL），
∴∠DBC=∠ACB，
∵EG是△CBA的中位线，FG是△BCD的中位线，
∴EG∥AB，FG∥CD，
∴∠CEG=∠BAC，∠BFG=∠BDC，
∵∠BAC+∠BDC=180°，
∴∠CEG+∠BFG=180°，
∵△EFG是等边三角形，
∴∠EFG=∠FEG=60°，
∵∠BFG+∠EFG+∠EFD+∠CEG+∠FEG+∠FEA=180°+180°，
∴∠EFD+∠FEA=60°，
∴∠DBC+∠ACB=60°，
∴∠DBC=×60°=30°．

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