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2025-2026学年上海市市西中学高二上学期 10月阶段测试数学试卷
一、单选题：本题共 4小题，共 12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间的一个点 ，一条直线 ，一个平面 用集合的语言表述它们之间可能的位置关系，表述正确的
是( )
A. ∈ B. { } ∈ C. { } ∈ D. ∈
2.已知 1, 2, 3是空间三条不同的直线，则下面命题正确的是( )
A. 若 1 ⊥ 2且 2 ⊥ 3，则 1// 3 B. 若 1 ⊥ 2且 2// 3，则 1 ⊥ 3
C. 若 1// 2且 2// 3，则 1, 2, 3共面 D. 若 1, 2, 3共点，则 1, 2, 3共面
3.在空间中，过点 作平面 的垂线，垂足为 ，记 = ( ).设 ， 是两个不同的平面，对空间任意一点
， 1 = [ ( )]， 2 = [ ( )]，恒有 1 = 2，则( )
A. 平面 与平面 垂直
B. 平面 与平面 所成的(锐)二面角为45°
C. 平面 与平面 平行
D. 平面 与平面 所成的(锐)二面角为60°
4.已知直线 、 是互相垂直的异面直线，平面 经过直线 ，直线 与平面 平行．动点 在平面 上，若
到 、 的距离相等，则 的轨迹是( )
A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线
二、填空题：本题共 12小题，共 36分。
5.两条异面直线所成角的取值范围为 (用弧度制表示)．
6.设 为虚数单位，则复数1 2 的虚部为 ．
7.向量 = (3,5)在向量 = (1, 1)方向上的数量投影为 ．
1
8.已知正实数 , 满足 + 2 = 3，则 的最大值为 ．

9.在长方体 ′ ′ ′ ′中， = 4， = 2， ′ = 2，则直线 到平面
′ ′ 的距离为 ．
10.正方体的各表面在一个平面上的展开图如图所示，则展开图中的面对角线 与
在正方体中的位置关系为 (选填“平行”、“相交”、“异面”)．
11.在梯形 中， // ，用“斜二测画法”作出梯形 水平放置的直观
图，如图所示．若 ′ ′ = 4， ′ ′ = 2， ′ ′ = 2，则梯形 的面积为 ．
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12.已知等腰直角三角形的一条直角边在平面 上，斜边与平面 所成的角为30 ，则另一条直角边与平面
所成角的大小为 ．
13.如图，已知正方体 1 1 1 1的棱长为2, 分别是棱 1, 1 1的中点，点 为底面四边形
内(包括边界)的一动点，若直线 1 与平面 无公共点，则点 在四边形 内运动所形成轨迹的
长度为 ．
2
14.已知函数 ( ) = sin ( + ) + ( > 0)的最小正周期 满足 < < ，且 = ( )的图象关于点
4 3
3
( , 2)对称，则 ( ) = ．
2 2
15.已知长方体 ′ ′ ′ ′的底面 是边长为2的正方形， 为棱 上的任意一点， 为棱 ′的中
点，若棱 ′ ′上至少存在一点 使得 ⊥ ，则棱 ′的长的最大值为 ．
2
16.已知数列{ }满足 +1 = 2 + 3( 为正整数)，若{ }是严格增数列，则首项 1
的取值范围

为 ．
三、解答题：本题共 5小题，共 52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知点 和直线 , ，证明：过点 至多有一个平面与直线 垂直．
18.(本小题10分)
已知 ⊥ ， ⊥平面 ， = = 3， = 4，点 为 的中点，过点 分别作平行于平面
的直线交 、 于点 、 ．
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(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)证明：平面 //平面 ，并求平面 到平面 的距离．
19.(本小题10分)
已知函数 ( ) = ( > 0, ≠ 1)．
(1)若函数 = ( )的图象经过点(4,2)，求解不等式 (2 2) < ( )；
(2)若存在 ，使得 ( + 1)、 ( )、 ( + 2)依次成等差数列，求 的取值范围．
20.(本小题10分)
如图所示为一名曰“堑堵”的几何体，已知 ⊥平面 , // , = = 1， = √ 3，四边形
为正方形．
(1)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．判断四面体 是否为鳖臑？若是，写
出其每一个面的直角，并加以证明：若不是，请说明理由．
(2)求直线 与平面 所成角的大小．
21.(本小题12分)
已知四面体 的6条棱中，有 条棱长为 ，有6 条棱长为1．
(1)若 = 0，证明： ⊥ ；
(2)若 = 1, = (0 < < √ 3)，求二面角 的大小(用含 的式子表示)；
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(3)若 = 2，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.

5.(0, ]
2
6. 2
7. √ 2
9
8.
8
9.√ 2
10.异面
11.12

12. 或45
4
13.√ 5
14.1
15.√ 2
1
16.(0, ) ∪ (2,+∞)
2
17.【详解】假设过点 有至少两个平面与直线 垂直，
设 ∈ 1, ∈ 2, ∈ 3, ∈ , ⊥ 1, ⊥ 2, ⊥ 3 ⊥ ，所以 ∈ 1 ∩ 2 ∩ 3 ∩ ∩ ，
又因为 ⊥ 1, ⊥ 2, ⊥ 3, ⊥ ，所以 1// 2// 3 // ，与 ∈ 1 ∩ 2 ∩ 3 ∩ ∩ 矛盾，假设
不成立，
所以过点 至多有一个平面与直线 垂直．
18.【详解】(1)由 ⊥平面 ， 平面 ，则 ⊥ ，而 ⊥ ，
由 ∩ = ， , 平面 ，则 ⊥平面 ，
由 平面 ，则平面 ⊥平面 ；
(2)依题意可知， //平面 ， //平面 ，
由于 ∩ = ， , 平面 ，所以平面 //平面 ，
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由(1)知 ⊥平面 ，则 ⊥平面 ， ∈ ，
所以 ⊥平面 ， ⊥平面 ，
由 //平面 ， 平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 // ，又点 为 的中点，则 是 的中点，
1
所以平面 到平面 的距离为 = = 2．
2
19.【详解】(1) ∵ (4) = 2，则 4 = 2，
∴ 2 = 4，∵ > 0，∴ = 2，
∴ ( ) = 2 ，定义域为(0,+∞)，
要解不等式 (2 2) < ( )，则 , 2 2 ∈ (0,+∞)，∴ ∈ (1,+∞)．
又 ( ) = 2 在定义域内是严格增函数，
由 (2 2) < ( )，则2 2 < ，解得 < 2．
综上所述，不等式 (2 2) < ( )的解集为(1,2)．
(2) ∵ ( )的定义域为(0,+∞)，存在 ，使得 ( + 1)、 ( )、 ( + 2)依次成等差数列，
+ 1 > 0
则在方程2 ( ) = ( + 1) + ( + 2)中，应满足{ + 2 > 0,
> 0
由 > 0，解得 > 0，问题转化为 > 0时，方程 ( + 1) + ( + 2) = 2 ( )有实数解．
又 ( ) = ，则 ( + 1) + ( + 2) = 2 ，
即 (
2 2) = ( 2 + 3 + 2)．
∵ ( )为严格单调函数，
∴ 2 2 = 2 + 3 + 2，
2 3
∵ > 0，两边同除以 2得， 2 = 2 + + 1．
1
令 = ，由 > 0，则 ∈ (0,+∞)，

∴ 2 = 2 2 + 3 + 1在 > 0有解．
3 2 1
又 = 2 2 + 3 + 1 = 2( + ) 在(0,+∞)上是严格增函数，
4 8
∴ = 2 2 + 3 + 1 ∈ (1,+∞)，即 2 ∈ (1,+∞)，
又 > 0，则 ∈ (1,+∞)．
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20.【详解】(1) ∵ ⊥底面 ， ， ， 都在底面 上，
∴ ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ⊥ ， ∩ = ， , 平面 ，
∴ ⊥平面 ，又 平面 ，
∴ ⊥ ，
∴四面体 是鳖臑；
(2)由 ⊥平面 ，即 ⊥平面 ， 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， ∈平面 ，
所以 到平面 的距离，即为 到直线 的距离 ，
由题设及(1)知， 2 + 2 = 2 = 2， 2 + 2 = 2 = 3，
所以 2 + 2 2 = 1 + 2 2 = 3，可得 = 1，故 = = √ 2，
1 1 2
由等面积法知， = ，得 = = √ ，
2 2 3
√ 3 √ 3
若直线 与平面 所成角为 ，则sin = = ，可得 = arcsin ．
3 3
21.【详解】(1)当 = 0，则6条棱长均为1，故四面体 为正四面体，
若 为 的中点，而 , 为等边三角形，则 ⊥ , ⊥ ，
由 ∩ = ， , 平面 ，则 ⊥平面 ，
由 平面 ，则 ⊥ ；
(2)当 = 1，则四面体 中有1条棱 = (0 < < √ 3)，其它5条棱长为1，
如图 为 的中点， , 均为等边三角形，则 ⊥ , ⊥ ，
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3
故∠ 为二面角 的平面角， 2 = 2 = ，
4
2+ 2 2 3 2 2
此时cos∠ = = ，
2 3
√ 6 3 2 2
当0 < ≤ 时∠ = arccos ，
2 3
√ 6 2 2 3
当 < < √ 3时∠ = arccos ；
2 3
(3)当 = 2，根据对称性有如下两种情况，
若2条对边的棱长为 ，不妨设为 = = ，则 = = = = 1，
如下图 为 的中点，其中 , 为全等的等腰三角形且0 < < 2，
2 2 2
所以 = = √ 1 ，则2√ 1 > > 0，得 < 1 0 < < √ 2，
4 4 2
综上，0 < < √ 2；
若2条邻边的棱长为 ，不妨设为 = = ，则 = = = = 1，
0 < < 2 1
如下图 为 的中点，其中 , 均为等腰三角形且{ ，则 < < 2，
2 > 1 2
√ 3 2 1 √ 3 1 √ 3所以 = , = √ ，则1 < √ 2 < 1 + ，得√ 2 √ 3 < < √ 2 + √ 3，
2 4 2 4 2
综上，√ 2 √ 3 < < √ 2 + √ 3；
所以，2条对边的棱长为 时0 < < √ 2；2条邻边的棱长为 时√ 2 √ 3 < < √ 2 + √ 3．
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