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第一章 勾股定理
八上数学 BSD
1.3 勾股定理的应用
1．运用勾股定理的逆定理判定垂直，从实际问题中抽象出直角三角形或通过添加辅助线构建直角三角形，运用勾股定理解决实际问题.
2．能在具体情境中抽象出直角三角形，将实际问题转化为数学问题.
问题 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖(如图)的边AD和边BC是否分别垂直于边AB.
D C
A B
2．如图②是学校的旗杆示意图，旗杆上的绳子垂到了地面，
并多出一段，现在老师想知道旗杆的高度，你能帮老师想个办法吗？说出你的设计方案．
探究一：直角三角形的判定
装修工人李叔叔想检测某块装修用砖（如图）的边AD 和边 BC 是否分别垂直于底边 AB.
A
B
C
D
(1)如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？
(2)李叔叔量得边AD长是30 cm，边AB长是40 cm，点B，D之间的
距离是50 cm.边AD垂直于边AB吗？
(3)如果李叔叔随身只带了一个长度为20 cm的刻度尺，那么他能
检验边AD是否垂直于边AB吗？
A
B
C
D
（3）如果李叔叔随身只带了一个长度为20cm 的刻度尺，那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗？
问题构建
一把卷尺定垂直
解：因为AE=3cm，AF=4cm，EF=5cm
在△AEF中，
所以△AEF是直角三角形，EF是斜边.
所以∠EAF=90°,AE⊥AF.
问题2：由于刻度尺长度小于砖的边长，不方便直接测量，思考解决问题的本质是什么？
验证直角
追问：你有怎样的思路？
构造边长小于20cm的直角三角形
协作破冰
正方形纸片ABCD的边长为8cm，点E是边AD的中点，将这个正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F.你能求出DF的长吗？
神秘折叠算长度
问题3：阅读文本你得到了哪些信息？产生了哪些结论？
点E是边AD的中点
AE=DE=4cm
正方形纸片翻折
FE=FC
追问1：你会选择哪个直角三角形解决问题？理由是什么？
△DEF，包含所求线段DF
新知初探
贰
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
（4）解决实际问题.
归纳总结
数学问题
直角三角形
勾股定理
实际问题
转化
构建
利用
解决
新知初探
贰
1.如图，将一根长为16 cm的橡皮筋固定在笔直的木棒上，两端点分别记为A，B，然后将中点C向上竖直拉升6 cm至点D处，则拉伸后橡皮筋的长为（ ）
A.20 cm B.22 cm C.28 cm D.32 cm
A
随堂练习
教师示范
神秘折叠算长度
问题4：在解决DF长度以后，小明进行了深度反思，经过研究，他向大家提出问题，能否计算BG的长度呢？
小明提示：
延长FE,BA交于点M……
你能根据小明的提示画出对应的图形吗？
教师示范
神秘折叠算长度
问题5：观察图形，添加辅助线之后，你发现哪些可能成立的新结论？
△DEF≌△AEM
ME=FE=5cm，
AM=DF=3cm
折叠
轴对称
∠MFG=∠CFG
∠MGF=∠CFG
BD∥CF
∠MGF=∠MFG
MG=MF=10cm,
AG=7cm,BG=1cm
新课讲授
(3)小明随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
解：在AD上取点M，使AM=9 cm，在AB上取点N使AN=12 cm，
9 cm
12 cm
M
N
只要测量MN是否是15 cm，就可以判断是否垂直，
如果MN是15 cm，AD边垂直于AB边；
如果MN不是15 cm，AD边不垂直于AB边.
知识归纳
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
(1)读懂题意，分析已知、未知间的关系；
(2)构造直角三角形；
(3)利用勾股定理等列方程；
(4)解决实际问题.
数学问题
直角三角形
勾股定理
实际问题
转化
利用
解决
构造
跟踪训练 《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何
题意是：如图，一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高 则折断处离地
面的高度为 尺.
知识点2 勾股定理的应用
1. 小明家新买了一个长方体形状的鱼缸，如图所示，小明想要检测鱼缸的边DA是否垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，量得DA长60 cm，AB长80 cm，点B，D之间的距离是100 cm，边DA垂直于边AB吗 为什么
解：边DA垂直于边AB.理由：连接BD，如图.
因为DA +AB =60 +80 =10 000，BD =10 =10 000，
所以DA +AB =BD ，
所以△ABD是直角三角形，且∠DAB=90°，
所以边DA垂直于边AB.
2. 如图，一座城墙高11.7 m，墙外有一个宽为9 m的护城河，那么一个长为15 m的云梯能否到达墙的顶端？
解：设这个梯子能够到达的墙的最大高度是h m，
根据勾股定理得h2＝152-92＝144.
所以h=12＞11.7.
所以15 m长的云梯能达到墙的顶端.
3. 如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长.
解：设滑道AC=x m，则AB=x m，AE=(x-1)m.
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，
由勾股定理，得AE2+CE2=AC2，
即(x-1)2+32=x2，解得x=5.
故滑道AC的长度为5 m.
A
E
B
C
D

3.一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道(隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门)，则卡车的外形不得高于
A.3.1米 B.3米
C.2.9米 D.2.8米
√
解析　由题图可得，OC=OA=1米，OD=0.8米，
因为OC2=CD2+OD2，所以12=0.82+CD2，
解得CD=0.6米，因为CH=CD+DH，
所以CH=0.6+2.3=2.9(米)，所以卡车的外形不得高于2.9米.
（第2题）
2.如图是一个装饮品的圆柱形玻璃杯，现测得其内径为
，高为，有一支长为 的吸管任意斜放于杯
中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露在杯口外的长度最少
为( )
B
A. B. C. D.不能确定
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3.［教材 例题变式］ 图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计
算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中 ，
于点，尺，尺。设的长度为 尺，可列
方程为____________________。
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知识点1 勾股定理的应用
（第1题）
1.如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条
长的电缆，则地面固定点到电线杆底部 的距离为
( )
A
A. B. C. D.
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（第2题）
2.［2025西工大附中月考］如图，圆柱形杯子底面直径为
，高为。将一根长 的木棒斜放在杯子中，
设木棒露在杯子外面的长度为，则 的最小值是( )
B
A.9 B.11 C.12 D.14
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