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2025-2026学年长沙市周南中学高二上学期第一次数学月课时作业
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
5
1.若直线 : + + 1 = 0的倾斜角为 ，则实数 值为( )
6
√ 3 √ 3
A. √ 3 B. √ 3 C. D.
3 3
2.已知直线 1: + 1 = 0, 2: + 1 = 0，则“ = 1”是“ 1 ⊥ 2”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2 2
3.已知方程 + = 1表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是( )
10 4+
A. ( 4,3) B. ( 4,10) C. (3,10) D. ( 4,3) ∪ (3,10)
4.圆 : ( 3)2 + ( + 4)2 = 1关于直线 2 = 0对称的圆 的方程是( )
A. ( + 2)2 + ( + 1)2 = 1 B. ( 2)2 + ( 1)2 = 1
C. ( 2)2 + ( + 1)2 = 1 D. ( + 2)2 + ( 1)2 = 1
2 2 7
5.已知椭圆 : + = 1的左、右焦点分别为 1, 2，点 为椭圆 上一点，若| 1| | 2| = ，则4 3 2
cos∠ 1 2 =( )
5 3 5 3
A. B. C. D.
7 7 14 14
6.已知圆 : 2 + 2 + 6 + = 0和直线 + 2 3 = 0交于 , 两点， 为坐标原点，若 =
0，则实数 的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.设 ( , )是圆 : ( 2)2 + 2 = 1上任意一点，若 = √ 2 + 2 10 + 8 + 41 的最小值为 ，且
1 1
> 1, > 2，则 + 的最小值为( )
1 2
A. 8 B. 4 C. 3 D. 2
8.已知直线 : + + 2 1 = 0与圆 : 2 + 2 6 7 = 0相交于 ， 两点，下列说法正确的是( )
A. | |的最小值为2√ 2
B. 若圆 关于直线 对称，则 = 1
C. 当 = 3时，对任意 ∈ ，曲线 : 2 + 2 + 3 + ( 6) + 5 7 = 0是恒过直线 与圆 的交点的圆
2
D. 若 , , , ( 为坐标原点)四点共圆，则 =
3
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2 2
9.已知椭圆 : + = 1的左、右焦点分别为 1, 2， 是椭圆上一点，且| 1| | 2| = 2，则下列说法正9 4
确的是( )
A. | 1| = 3 B. 椭圆的焦距为2
C. 2 21 2的周长为6 + 2√ 5 D. 点 在圆 + = 5上
10.在棱长为2的正方体 1 1 1 1中，点 在正方形 1 1 1 1内运动(含边界)且 //平面 1 ，则
( )
A. 点 的轨迹长度大小为2√ 2
B. 三棱锥 1 的体积始终不变

C. 异面直线 与 1所成角的大小可能为 2
D. 当异面直线 与 1所成角最大时，四面体 1 的外接球的表面积为12
11.已知曲线 : 2 + 2 = | | + | |，点 ( , )在曲线 上，则下列结论正确的是( )
A. 曲线 围成的图形的面积为 + 2
B. 曲线 有且仅有2条对称轴
5√ 2
C. 点 ( , )到直线 + + 3 = 0的距离的最大值为
2

D. 的最小值为 1
2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
2 2
12.过点 ( √ 2, 3)且与椭圆 + = 1有相同焦点的椭圆的标准方程为 ．
8 4
13.已知点 ( 1,2)， (1,4)，若直线 过点 ( 2, 3)，且 、 到直线 的距离相等，则直线 的一般式方程
为 ．
14.在棱长为6的正方体 1 1 1 1中， 是 的中点，点 是正方形 1 1内(包括边界)的动点，
且满足∠ = ∠ ，则三棱锥 体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知 的三个顶点是 (1, 1), ( 1,3), (3,2)，直线 过 点且与 边所在直线平行．
(1)求直线 的方程；
(2)求 的面积．
16.(本小题15分)
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已知圆 1过 ( 2,4), (5,3)两点，且圆心 1在直线 = 1上.
(1)求圆 1的方程；
(2)若点 是圆 1上的动点，点 ( 1,0)，线段 的垂直平分线交 1 于点 ，求动点 的轨迹方程．
17.(本小题15分)
已知圆 : 2 + 2 + 2 4 + = 0，且圆 被直线 + 3 + √ 2 = 0截得的弦长为2．
(1)求 ；
(2)若圆 的切线 在 轴和 轴上的截距相等，求切线 的方程．
18.(本小题17分)
如图，球 的半径为4， 是球 的一条直径， 是线段 上的动点，过点 且与 垂直的平面与球 的球
面交于⊙ ， 1 2 6是⊙ 的一个内接正六边形．
(1)若 是 的中点．
( )求六棱锥 1 2 6的体积；
( )求二面角 1 3 2的余弦值；
(2)设 1 2的中点为 ，求证：tan∠ · tan∠ 为定值．
19.(本小题17分)
已知点 (2,1)是圆 : 2 + 2 = 8内一点，直线 : 2 8 = 0．
(1)若圆 的弦 恰好被点 (2,1)平分，求弦 所在直线的方程；
(2)若过点 (2,1)作圆 的两条互相垂直的弦 ， .求四边形 的面积的最大值；
(3)若 是 上的动点，过 作圆 的两条切线，切点分别为 ，D.证明：直线 过定点．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
2 2
12. + = 1
12 8
13.3 + 3 = 0或 1 = 0
14.12√ 3
3+1
15.解：(1)由题意可知：直线 的斜率为： = = 2，
1 1
∵ // ，直线 的斜率为 2，
∴直线 的方程为： 2 = 2( 3)，即2 + 8 = 0．
(2) ∵ | | = √ (1 + 1)2 + ( 1 3)2 = 2√ 5，
直线 的方程为 + 1 = 2( 1)，即2 + 1 = 0，
|6+2 1| 7 7
设点 到直线 的距离 ，∴ = = = √ 5，
√ 4+1 √ 5 5
1 1 7
∴ 的面积 = | | = × 2√ 5 × √ 5 = 7． 2 2 5
3 7 4 3 1
16.解：(1)由题意得， 的中点坐标为( , )， = = ， 2 2 5 2 7
7 3
故直线 的中垂线方程为 = 7( )，即7 7 = 0，
2 2
= 1 = 1
由{ ，得{ ，则圆心 1(1,0)， 7 7 = 0 = 0
又圆 1的半径 = √ (1 5)2 + (0 3)2 = 5，
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所以圆 的方程为( 1)2 + 2 = 25. (或 2 + 21 2 24 = 0)
(2)由线段 的垂直平分线交 1 于点 知，| | = | |，
由(1)知| 1 | = 5，
所以| | + | 1| = | | + | 1| = | 1 | = 5 > | 1| = 2，
由椭圆的定义知，点 的轨迹是以 ( 1,0), 1(1,0)为焦点的椭圆，
2 2 5
设其方程为 2 + 2 = 1( > > 0)，则2 = 5,2 = 2，即 = , = 1， 2
25 21
则 2 = 2 2 = 1 = ，
4 4
2 2
故动点 的轨迹方程为 25 + 21 = 1．
4 4
17.解：(1)由 : 2 + 2 + 2 4 + = 0配方得： : ( + 1)2 + ( 2)2 = 5 ，
可得圆的圆心为 ( 1,2)，半径为 = √ 5 ，
因圆 被直线 + 3 + √ 2 = 0截得的弦长为2，
| 1 2+3+√ 2| 2
则点 到直线 + 3 + √ 2 = 0的距离为 = = 1 = √ 2 ( )2，
√ 2 2
即√ 5 = √ 2，解得 = 3．
(2)由(1)知， : ( + 1)2 + ( 2)2 = 2，
①若直线 过原点，此时 在 轴和 轴上的截距均为0，(如图1)
| 2|
设其方程为 = 0，由 = √ 2可得 2 4 2 = 0，解得 = 2 ± √ 6，
√ 2 1+
此时直线 的方程为 = (2 ± √ 6) ；
②若直线 不过原点，依题意直线 的斜率为 1，(如图2)
| 1+2+ |
可设其方程为 + + = 0( ≠ 0)，则 = √ 2，即|1 + | = 2解得 = 1或 3．
√ 2
故直线 的方程为 = 1或 = + 3 ．
综上，切线 的方程为 = (2 ± √ 6) ，或 = 1，或 = + 3．
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18.解：(1)( )因为 到⊙ 的距离为2，所以⊙ 的半径为√ 42 22 = 2√ 3，
所以正六边形 1 2 6的边长为2√ 3，
√ 3 2
所以正六边形 1 2 6的面积为6 × × (2√ 3) = 18√ 3， 4
1
且 到⊙ 的距离为6，所以六棱锥 1 2 6的体积为 × 18√ 3 × 6 = 36√ 3； 3
( )以 为原点， 1 4为 轴， 1 4的中垂线为 轴， 为 轴建系，
则 (0,0,6)， 1( 2√ 3, 0,0)， 2( √ 3, 3,0)， 3(√ 3, 3,0)，
所以 1 = (2√ 3, 0,6)， 3 = ( √ 3, 3,6)， 2 3 = (2√ 3, 0,0)，
设平面 1 3的一个法向量 1 = ( 1, 1, 1)，
1 1 = 0 2√ 3 1 + 6 1 = 0则{
1 3 = 0 √ 3 1 + 3 1 + 6 1 = 0
令 1 = 1，得 1 = ( √ 3, 3,1)，
设平面 2 3的一个法向量 2 = ( 2, 2, 2)
2 2 3 = 0 2√ 3 = 0则{ 2 ,
2 3 = 0 √ 3 2 + 3 2 + 6 2 = 0
令 2 = 1，得 2 = (0, 2,1)，
0+6+1 7√ 65
所以cos 1 , 2 =
1 2 = = ．
| 1 | | 2 | √ 13 √ 5 65
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(2)由已知， 点在过 且与⊙ 所在平面垂直的一个平面内，记这个平面为 ．
在平面 内，以 为坐标原点，以 为 轴，以 中垂线为 轴建立平面直角坐标系，
√ 3
设 ( , )，则| | = | | = | 1|，| | = | |， 2
4
因为| 21| + | |
2 = 16，所以 2 + 2 = 16，
3
2 2
即 + = 1，又 ， 的坐标分别为(0,4), (0, 4)，
12 16
2 2 3
所以tan∠ tan∠ = =
4+ 4 16 2
= 4 =
2 4
3
19.解：(1)因圆 的弦 恰好被圆内的点 (2,1)平分，由垂径定理，可得 ⊥ ，即 = 1,∵
1
= , ∴ 2 = 2，
则弦 所在直线方程为 1 = 2( 2)，即2 + 5 = 0．
(2)因圆 : 2 + 2 = 8的半径为 = 2√ 2，
如图1，设点 到直线 、 的距离分别为 1, 2，则
2 2 2
1 + 2 = | | = 5，
因| | = 2√ 2 21 = 2√ 8
2
1，| | = 2√
2 2 22 = 2√ 8 2
1
故 2 2 2 2四边形 = | | | | = 2√ ( 8 1)(8 2) = 2√ (8 2 1
)( 1 + 3)，
2 2
8 1+ 1+3 √ 10≤ 2 × = 11，当且仅当8 21 =
2
1 + 3，即 1 = 2 = 时取等号， 2 2
故四边形 面积的最大值为11．
(3)因 ⊥ , ⊥ ，则 、 两点均在以 为直径的圆 上，
8 8
如图2，设 ( , )，则 的中点为 ( , )，
2 2 4
2
√ ( 8) 2+ √ 5 21 4 16 +64
圆 的半径为 | | = = ，
2 2 4
2 8 2 5
2 16 +64 1
则该圆的方程为 : ( ) + ( ) = ，即： : 2 + 2 ( 4) = 0．
2 4 16 2
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又 、 在圆 : 2 + 2 = 8上，
1 1
则圆 与圆 的公共弦 的方程为 + ( 4) 8 = 0，即 ( + ) 4( + 2) = 0，
2 2
1
+ = 0 = 1
由{ 2 ，解得{ ，故直线 过定点(1, 2)．
+ 2 = 0 = 2
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