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2025-2026学年湖南省长沙市南雅中学高二上学期 10月限时训练
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.在复平面内，复数 = (1 + ) 对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知圆锥的母线长为2，高为√ 3，则圆锥的全面积为( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
3.为庆祝中国共产党成立100周年，某市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，践行社会
主义路线，某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人，欲采用分层抽样法组建一个18人的高
一、高二、高三的红歌传唱队，则应抽取高三( )
A. 5人 B. 6人 C. 7人 D. 8人

4.在 中，∠ = , = 8, = 7，则 =( )
3
A. 5 B. 3或5 C. 4 D. 2或4
5.已知 ， 是两条不同的直线， , , 是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若 // ， // ，则 // B. 若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
C. 若 ⊥ ， // ，则 ⊥ D. 若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
6.已知圆 : 2 + 2 4 + = 0及点 ( 1,0)， (1,2).若在圆 上有且仅有一个点 ，使得| |2 + | |2 =
12，则实数 的值为( )
A. 0 B. 3 C. 0或3 D. 5或3

7.设 ， 为正三角形 中 边上的两个三等分点，且 = 2，则 =
4 8 26 26
A. B. C. D.
9 9 9 3
2 2
8.已知 为坐标原点， 是椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左焦点， , 分别为 的左，右顶点． 为 上一
点，且 ⊥ 轴．直线 与 轴交于点 ，若直线 经过 的中点，则 的离心率为( )
1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 3 4
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于直线 : ( 2) + 2 + 1 = 0与圆 : 2 + 2 6 4 + 4 = 0，下列说法正确的是( )
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A. 直线 过定点(3,2) B. 直线 与圆 不可能相切
C. 直线 被圆 截得的弦长的最小值为6 D. 圆上一点到点 (0, 2)的最大距离为8
2
10.椭圆 : + 2 = 1的左、右焦点分别为 1， 2， 为坐标原点， 为椭圆 上一点，则( ) 2
A. | 1| | 2|的最大值为2
1
B. 椭圆 的离心率为
2
C. 椭圆 上存在点 ，使得 1 2 = 0
D. | |2 + | 22| 的最小值为2
11.如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， ⊥平面 ， = ， 、 分别是 、
的中点， 是棱 上的动点，则下列说法中正确的是( )
A. ⊥
B. 存在点 ，使 //平面
C. 存在点 ，使直线 与 所成的角为30
D. 点 到平面 与平面 的距离和为定值
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知 (0, 1)，点 在直线 + 2 = 0上，若直线 平行于直线 + 2 3 = 0，则 点坐标
为 ．
13.已知事件 与 相互独立， ( ) = 0.6， ( ) = 0.42，则 ( + ) = ．
14.设 ∈ ，过定点 的动直线 + = 0和过定点 的动直线 + 3 = 0交于点 ( , )，则
| | | |的最大值是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知3 sin = 4 cos ．
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(1)求sin ；

(2)若 = 3√ 2，如图， 为边 上一点， = ，∠ = ，求 的面积．
2
16.(本小题15分)
某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问
卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照[50,60), [60,70), , [90,100]分成5组，制
成如图所示频率分直方图．
(1)求图中 的值；
(2)求这组数据的平均数和中位数；
(3)已知满意度评分值在[50,60)内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为[50,60)的人中随机
抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率．
17.(本小题15分)
已知圆 : 2 + 2 = 4．
(1)已知定点 (2,2)， 圆 上任意一点，求线段 的中点 的轨迹方程；
(2)直线 + + = 0与圆 交于不同的两点 、 ，且| + | ≥ | |，求实数 的取值范围．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥 中， 为矩形，且 = 2 = 2， = √ 3，∠ = ∠ = 60 ．
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(1)求证： ⊥平面 ；
1
(2)若 // ( 在 的左侧)，设三棱锥 体积为 1，四棱锥 体积为 2，且 1 = 2． 2
①求点 到平面 的距离；
②求平面 与平面 所成夹角的正弦值．
19.(本小题17分)
2 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，且| 1 2| = 2，过点 2作两条直线 1， 2，
直线 1与 交于 ， 两点， 1 的周长为4√ 2．
(1)求 的方程；
4
(2)若 1 的面积为 ，求 1的方程； 3
(3)若 2与 交于 ， 两点，且 1的斜率是 2的斜率的2倍，求| | | |的最大值．
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参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】( 2,0)．
13.【答案】0.88
14.【答案】5
15.【答案】解：(1)在 中，因为3 sin = 4 cos ，由正弦定理得3sin sin = 4sin cos ，
因为 ∈ (0, )，所以sin ≠ 0，所以3sin = 4cos ，同时平方得9 2 = 16 2 = 16(1 2 )，
4
所以25 2 = 16，因为sin > 0，所以sin = ．
5
(2)解法1：

设 = = ，易知∠ + ∠ = ，∠ + ∠ = ，
2
4
所以cos∠ = cos∠ = sin =
5
在△ 中，由余弦定理得， 2 = 2 + 2 2 cos∠ ，
4
又 = = 3√ 2， = = ，cos∠ = ，
5
4
所以18 = 2 2 2 2 ( )，解得 = √ 5，
5
4 3
又cos∠ = ，得sin∠ = ，
5 5
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1 1 1 3 3
所以 △ = sin∠ =
2sin∠ = × 5 × = ，
2 2 2 5 2
4 3√ 5
在 中，sin = ， = √ 5，∠ = ，所以 = ，
5 2 4
1 1 3√ 5 15
所以 = = × × √ 5 = ， 2 2 4 8
3 15 27
所以 △ = △ + △ = + = ． 2 8 8
解法2：
因为 = ，所以∠ = ∠ ，

因为∠ = ，所以∠ + 2∠ = ，即2∠ = ∠ ，
2 2 2
3
所以sin2 = sin ( ) = cos ，因为 为锐角，所以sin2 = cos = ，
2 5
3 15√ 2
又 = 3√ 2，cos = ，根据正弦定理得 = = = ，
5 sin sin sin 4
15√ 2 15√ 2
所以 = sin ， = sin ，
4 4
1 1 15√ 2 15√ 2 4 45
所以 = sin = × sin × sin × = sin ( + ) sin 2 2 4 4 5 4 2
45 45 27
= sin cos = sin2 = ．
4 8 8
16.【答案】解：(1)由(0.005 + 0.01 + 0.035 + 0.030 + ) × 10 = 1，解得 = 0.02．
(2)这组数据的平均数为55 × 0.05 + 65 × 0.2 + 75 × 0.35 + 85 × 0.3 + 95 × 0.1 = 77．
540
中位数设为 ，则0.05 + 0.2 + ( 70) × 0.035 = 0.5，解得 = ．
7
(3)满意度评分值在[50,60)内有100 × 0.005 × 10 = 5人，其中男生3人，女生2人.记为 1, 2, 3, 1, 2，
记“满意度评分值为[50,60)的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件 ，
从5人中抽取2人有： 1 2， 1 3， 1 1， 1 2， 2 3， 2 1， 2 2， 3 1， 3 2， 1 2
所以总基本事件个数为10个， 包含的基本事件个数为3个，
3
所以 ( ) = ．
10
17.【答案】解：(1)设点 ( , )，由 (2,2)， 为线段 的中点，得点 (2 2,2 2)，
而点 为圆 上任意一点，则(2 2)2 + (2 2)2 = 4，化简得( 1)2 + ( 1)2 = 1，
所以线段 的中点 的轨迹方程为( 1)2 + ( 1)2 = 1．
(2)取 的中点 ，由| + | ≥ | |，得|2 | ≥ |2 |，则| |2 ≥ | |2，
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| | √ 2 2 2 √ 2 2 √ 2又| | = = | |，| | = 4 | | ，因此( | |) ≥ 4 ( | |)2，
2 2 2
√ 12+12
√ 2
解得| | ≥ 2，由直线 + + = 0与圆 相交，得 | | < 2，因此2 ≤ | | < 2√ 2，
2
实数 的取值范围是 ∈ ( 2√ 2, 2] ∪ [2,2√ 2)．
18.【答案】解：(1)在 中，| | = 1，| | = √ 3，∠ = 60 ，
| |2+1 3 1
所以cos60 = = ，解得：| | = 2，
2| | 2
所以| |2 + | |2 = | |2，所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， , 为平面 内两条相交直线，
所以 ⊥平面 ；
(2)(2)由(1)知， ⊥平面 ， // ，
所以 ⊥平面 ，又 在平面 内，所以平面 ⊥平面 ，
在平面 内，所以 ⊥ ，

在三角形 中，| | = 2，| | = 2，∠ = 60 ，
所以| | = 2，又| | = 1，
所以| | = √ 4 1 = √ 3，
1 1
又 =
2 2 2
= = ，
1
又 1 = 2 = ， 2
所以 = ，又 // ，
所以| | = | | = 1，
取 的中点 ，| | = | | = √ 3，可知： ⊥ ，
因为平面 ⊥平面 ，交线为 ，
又在平面 内，
所以 ⊥平面 ，如图建立空间直角坐标系
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易得： ( 1,0,0), (1,0,0), (1,1,0), ( 1,1,0), (0,0, √ 2), (0, 1, √ 2)，
所以 = (0, 1,0), = (1,1, √ 2)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则{
= 0 ,
= 0
+ √ 2 = 0所以{ ,
= 0
令 = 1，得 = √ 2，即 = (√ 2, 0,1)，
又 = (1,0, √ 2)，
| | 2√ 2 2√ 6
所以求点 到平面 的距离 = = = ，
| | √ 3 3
② = (2,0,0), = (1, 1,√ 2)，
设平面 的法向量 = ( , , )，
2 = 0
则{ = 0，所以{ ,
= 0 + √ 2 = 0
令 = 1，则 = √ 2，可得： = (0,√ 2, 1)，
设平面 与平面 所成夹角为 ，
| | 1 1
所以cos = |cos , | = = = ，
| | | | √ 3×√ 3 3
1 2√ 2
所以sin = √ 1 2 = √ 1 = ，
9 3
2√ 2
即平面 与平面 所成夹角的正弦值为 ．
3
19.【答案】解：(1)设椭圆的半焦距为 ( > 0)，由题意知2 = 2，所以 = 1，
1 的周长为| 1| + | 2| + | 1| + | 2| = 4 = 4√ 2，所以 = √ 2，
2
所以 2 = 2 2

= 1，故 的方程为 + 2 = 1．
2
(2)若 1的斜率为0，则 , , 1共线，与条件矛盾，
所以 1的斜率不为0，设 1: = + 1， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
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= + 1
联立{ 2 2 ，得(
2 + 2) 2 + 2 1 = 0，
+ 2 2 = 0
2 1
所以 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ． +2 +2
2√ 2( 2+1)
所以| 21 2| = √ ( 1 + 2) 4 1 2 = ， 2+2
1 2√ 2(
2+1) 4
由 △ = | 1 2|| 1 2| = 2 = ，解得 = ±1， 1 2 +2 3
所以 1的方程为 1 = 0或 + 1 = 0．
2√ 2( 2+1) 1
(3)由(2)可知| | = √ 1 + 2| 1 2| = 2 = 2√ 2 (1 2 )， +2 +2
因为 1的斜率是 2的斜率的2倍，所以 ≠ 0，
1
同理可得| | = 2√ 2 (1 2 )． 4 +2
1 1 3√ 2 2 3√ 2 3√ 2 √ 2
所以| | | | = 2√ 2 ( 2 2 ) = 4 2 = 2 ≤ = ， +2 4 +2 2 +5 +2 2 2+5+ 4+5 3
2
√ 2
当且仅当 = ±1时，等号成立，所以| | | |的最大值为 ．
3
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