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2025-2026学年江苏省苏州第十中学校高二上学期十月阶段性检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知数列√ 3，√ 5，√ 7，3，√ 11，…，则√ 21是这个数列的第( )项
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
2.记等差数列{ }的前 项和为 .若 2 = 4, 4 = 20，则 6 =( )
A. 28 B. 48 C. 64 D. 84
3.若数列{ }满足 1 = 2， +1 = 1，则 2025 =( )
1
A. B. 2 C. 3 D. 1
2
4.记 为数列{ }的前 项和．若 = 2 1，则 7( )
A. 13 B. 32 C. 64 D. 128
2 +1
5.设等差数列{ }, { }的前 项和分别为 , .若
= ，则 9 =( )
+3 9
7 11 19
A. B. C. D. 2
4 8 12
6.生活中有各种不同的进制，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用十进制．任何进制数均可转换为
十进制数，例如八进制数(3751)8转换为十进制数的算法为3 × 8
3 + 7 × 82 + 5 × 81 + 1 × 80 = 2025.若将
三进制数(222222)3转换为十进制数，则转换后的数是( )
A. 856 B. 527 C. 728 D. 242
1 1 1
7.已知正项等比数列{ }的前 项积为 ，且 + = ，则 =( ) 1+2 +2 2 20252025
A. 2024 B. 2025 C. 22024 D. 22025
+
8.已知数列{ }的各项均为正数，数列{

2
}是常数列，则数列{ }( )
A. 是递增数列 B. 是递减数列 C. 先递增后递减 D. 先递减后递增
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若{ }是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是( )
A. {| |} B. { +1 }
C. { + }( , 为常数) D. {2 + }
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10.设等差数列{ }的前 项和为 ，公差为 ， 1 > 0， 10 + 11 > 0， 10 11 < 0，则下列结论正确的
是( )
A. < 0
B. 当 > 0时， 的最大值为21

C. 数列{ }为等差数列，且公差为


D. 记数列{ }的前 项和为

，则 20最大
11.已知数列{ }满足 1 = 1,

+1 = + ( , ∈ , ∈ )，设{ }的前 项和为 ，则下列说法正确的
有( )
A. 若 = 1, = 3，则 10 = 2 B. 若 = 1, = 3，则 10 = 30
C. 若 = 2, = 1，则 10 = 1024 D. 若 = 2, = 1，则 10 = 2036
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.若直线经过两点 (2, ), ( , 2 1)，且倾斜角为135 ，则 的值为 ．
13.已知数列{ }, { }满足

= 2 , = 3 1.现将数列{ }和{ }的公共项由小到大组成新数列{ }，
则 4 = ．
14.数列{ }满足
+1
1 = 2, +1 = 3 + 2 ，则数列{ }的通项公式为 = ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{ }是等差数列，数列{ }是公比大于0的等比数列．且 1 = 1 = 2, 2 = 2, 3 = 2 + 4．
(1)求{ }和{ }的通项公式；
(2)记数列{| 11|}的前 项和为 ，求 16．
16.(本小题15分)
已知数列满足 1 = 3，且对任意的 ∈
，都有 +1 = 3 2 + 1( ∈ )
(1)令 = ，证明：数列{ }为等比数列；
(2)求数列{ }的通项公式，及数列{ }的前 项和 ．
17.(本小题15分)
20 10 1 2 3 2 1
已知函数 ( ) = lg ，数列{
1+
}满足 = ( ) + ( ) + ( ) + + ( )． 2 2 2 2
(1)求证： ( ) + (1 )为定值，并求数列{ }的通项公式；
1 1 1
(2)记数列{ }的前 项和为 ，求证： ≤ < ． +1 3 2
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18.(本小题17分)
某区域市场中5 智能终端产品的制造全部由甲、乙两公司提供技术支持．据市场调研，5 商用初期，该
区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两公司的技术更新周期一致，且随着
技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有15%转而采用甲公司技术，采用
甲公司技术的产品中有10%转而采用乙公司技术．设第 次技术更新后，该区域市场中采用甲公司与乙公
司技术的智能终端产品占比分别为 和 ，不考虑其他因素的影响．
(1)用 表示 +1，并求使数列{ }是等比数列的实数 ；
(2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到60%及以上？若
能，则至少需要经过几次技术更新？若不能，请说明理由．
19.(本小题17分)
人教 版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数 ( )( ∈ )的函数值等于所有不超过正整数 且与 互素的
正整数的个数，例如 (1) = 1, (4) = 2．
(1)求 (6), (10), (2 )的值；
1
(2)已知数列{ }满足 = (3
)，求{ }的前 项和 ； 2
4 1 3
(3)若数列{ } ( ∈ )的前 项和为
2 1
，对任意 ∈ ，均有 ( + ) 2 + 3 ≥ 0恒成立，求实数2
的取值范围．
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参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
3
12.【答案】 或1.5
2
13.【答案】128
14.【答案】2(3 2 )
15.【答案】【详解】(1)设等差数列{ }的公差为 ，等比数列{ }的公比为 ，且 > 0．
2 = 2 +
依题意得{ 2 ，解得2
2 = 2 + 4，则 = 1或 = 2．
2 = 6 +
= 2
又因为 > 0，所以 = 2，解得{ ，故 = 2 ， = 2 ．
= 2
(2)由上问得 = 2 ，则| 11| = |2 11|，
令2 11 ≤ 0，解得 ≤ 5，此时| 11| = 11 2 ，
令2 11 ≥ 0，解得 ≥ 6，此时| 11| = 2 11，
则前5项和为9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 25，
16×( 9+21)
第6到第16项和为 [( 1) + ( 3) + ( 5) + ( 7) + ( 9)] = 121，
2
则 16 = 25 + 121 = 146．
16.【答案】【详解】(1)已知 = ，则 +1 = +1 ( + 1)，
因为 +1 = 3 2 + 1，所以 +1 = 3 2 + 1 ( + 1) = 3 3 ，
+1 3 3 则 = = 3，

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又 1 = 1 1 = 3 1 = 2，
所以数列{ }是以2为首项，3为公比的等比数列；
(2)由(1)可知 = 1 1 = 2 × 3
1，
因为 = ，所以 = + = 2 × 3
1
+ ，
= 1 + 2 + + = (2 × 3
0 + 1) + (2 × 31 + 2) + + (2 × 3 1 + )，
= (2 × 30 + 2 × 31 + + 2 × 3 1) + (1 + 2 + + )，
先求2 × 30 + 2 × 31 + + 2 × 3 1，这是首项为2，公比为3的等比数列的前 项和，
2×(1 3 )
可得：2 × 30 + 2 × 31 + + 2 × 3 1 = = 3 1，
1 3
( +1)
再求1 + 2 + + ，根据等差数列求和公式可得：1 + 2 + + = ，
2
( +1)所以 = 3 1 + ． 2
20 10 10+10
17.【答案】【详解】(1)由题意得 ( ) + (1 ) = lg + lg
1+ 2
20 10 10+10
= lg( × ) = lg100 = 2，
1+ 2
1 2 3 2 1
则 = ( ) + ( ) + ( ) + + ( )， 2 2 2 2
2 1 2 2 2 3 1
得到 = ( ) + ( ) + ( ) + + ( )， 2 2 2 2
两式相加得2 = 2(2 1)，即 = 2 1．
1 1 1 1 1
(2)由题意得 = = ( )，
+1 (2 1)(2 +1) 2 2 1 2 +1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
则 = × (1 + + + + ) = = ， 2 3 3 5 5 7 2 1 2 +1 2 +1 12+

1 1 1 1 1
而 1 = = ，而 = × (1 )，可得当 → +∞时， → ， 2×1+1 3 2 +1 2 2 +1 2 +1 2
1 1
令 ( ) = 1，因为反比例函数 = 在[1, +∞)上单调递减，
2+

1 1
所以 ( )在[1, +∞)上单调递增，即 在[1, +∞)上单调递增，故 ≤ < 得证． 3 2
18.【答案】【详解】(1)由题意知，经过 次技术更新后， + = 1，
则 +1 = (1 10%) + 15% = (1 10%) + 15%(1 ) = 75% + 15%，
3 3 3 3 1
即 +1 = + .设 +1 = ( )，则 4 20 4 +1 = 4 + ， 4
第 5 页，共 7 页
1 3 3 1 1 21 3 3
令 = ，解得 = .又 1 = (1 10%) + 15% × = , 4 20 5 2 2 40 1 = ， 5 40
3 3 3 3
所以当 = 时，{ }是以 为首项， 为公比的等比数列． 5 5 40 4
3 3 3 1
(2)由(1)可知 = × ( ) ， 5 40 4
3 3 3 1 3 1 3
则 = × ( ) = × ( ) ， ∈ ． 5 40 4 5 10 4 +
3 1 3
所以经过 次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比为 × ( ) ，
5 10 4
1 3 3 1 3 3
对于任意 ∈ +, × ( ) > 0，所以 × ( ) < = 60%， 10 4 5 10 4 5
即经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比不会达到60%以上．
19.【答案】【详解】(1)因为不超过正整数6且与6互素的正整数只有1,5，所以 (6) = 2,
因为不超过正整数10且与10互素的正整数只有1,3,7,9，所以 (10) = 4,
正偶数与2 不互素，所有正奇数与2 互素，比2 小的正奇数有2 1个，所以 (2 ) = 2 1；
(2)所有不超过正整数3 的正整数有3 个，其中与3 不互素的正整数有1 × 3，2 × 3，3 × 3， ，3 1 ×
3，共3 1个，
所以所有不超过正整数3 ，且与3 互素的正整数的个数为3 3 1 = 2 × 3 1个，
即 (3
1
) = 2 × 3 1， = (3
) = × 3 1
2
= 1 × 3
0 + 2 × 31 + 3 × 32 + + ( 1) × 3 2 + × 3 1,
3 = 1 × 3
1 + 2 × 32 + 3 × 33 + + ( 1) × 3 1 + × 3 ,
两式相减得
1
2 = 1 + 3
1 + 32 + 33 + + 3 1 × 3 = (3 1) × 3 ,
2
1 1
= (2 1)3
+ ,
4 4
4 1 (2 1)3 +1 1
(3)由(2)可知 = = 3
2 1 2 1
3(1 3 ) 3 3
= = × 3
，
1 3 2 2
3 2 2 3
( + ) 2 + 3 ≥ 0 得 ≥ × 恒成立， 2 3 3
2 2 3
令 = × ， 3 3
2 2 1 2 2 3 2 4 +8
则 +1 = × +1 × = × ， 3 3 3 3 3 3 +1
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可得 2 > 1；当 > 2 时， +1 < ，当 = 2时， +1 = ，
2 2 3 2
所以 = ×3 3
的最大值为 2 = 3 = ， 27
2
故 ≥
27
第 7 页，共 7 页

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