资源简介

北京二中教育集团2025—2026学年度第一学期
初三数学阶段练习（一）试卷
考查目标
1．知识：人教版九年级上册《一元二次方程》、《二次函数》、《旋转》的全部内容．
2．能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力．
考生须知
1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共18页，其中第Ⅰ卷3页，第Ⅱ卷7页，答题卡8页．全卷共三大题，28道小题．
2．本试卷满分100分，考试时间100分钟．
3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考试编号．
4．考试结束，将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题共16分）
一、选择题（以下每题只有一个正确选项，每小题2分，共16分）
1. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. 如意纹 B. 冰裂纹
C. 盘长纹 D. 风车纹
2. 一元二次方程配方后可变形为（ ）
A. B. C. D.
3. 将抛物线平移得到抛物线，下列平移过程正确的是（ ）
A. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
4. 观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（ ）
0 1 2 3 4
5 13 23
A. 和0之间 B. 0和1之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间
5. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（　　）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
7. 二次函数图象上部分点的坐标满足如表：
… －3 －2 0 1 3 5 …
… 7 0 7 …
下面有四个结论：
①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；
③当时，；
④是关于的一元二次方程的一个根．
其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 图1是放在水平桌面上的高脚杯的截面图，杯体是抛物线状（杯体厚度不计），点C是该抛物线的顶点，，D是的中点．当高脚杯中装满红酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为．现将高脚杯绕点F缓慢倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示，则此时酒杯内红酒的最大深度是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点是________．
10. 若关于x的一元二次方程有一个根是，则a的值为______．
11. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则关于x的方程的解为________．
12. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程________．
13. 抛物线与x轴有公共点，则m的取值范围是________．
14. 如图，中，，将绕点A逆时针旋转，得到，．若点B，C，D恰好在同一条直线上，则__________．
15. 已知二次函数（），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是________．
16. 某校航模小组的同学正在为即将开始的航模比赛做最后的准备．已知准备工作共有A，B，C，D，E，F，G，H，M，N十项工序，准备工作完成过程需要满足以下要求：
（1）H只能在A、B、C工序均完成后才能完成；
（2）M只能在C、D、E工序均完成后才能完成；
（3）其余每项工序相互独立，之间没有干扰；
（4）一项工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序．各项工序所需时间如表所示：
工序 A B C D E F G H M N
所需时间/分钟 18 15 16 6 7 5 8 3 2 3
在不考虑其他因素的前提下，若由若干名学生合作完成准备工作，至少需要______分钟才能全部完成；若要在最短的时间内合作完成准备工作，则最少需要______名学生共同参与．
三、解答题（共68分，其中第17－19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22－23题每题6分，第24－25题每题5分，第26题6分，第27－28题每题7分）
17. 解方程：．
18 解方程：．
19. 如图，点A，B的坐标分别为、，将绕点A按逆时针方向旋转，得到（其中点A和点对应，点B和点对应，点C和点对应）．
（1）画出旋转后的；
（2）直接写出点的坐标为______．
（3）连接，直接写出的度数为______．
20. 已知关于方程．
（1）求证：方程总有两个实数根：
（2）若方程的一个根比另一个根大3，求的值．
21. 已知二次函数．
（1）顶点坐标为________；
（2）若抛物线的顶点在轴上，则________，此时当时，的取值范围是________．
（3）若，点和点在抛物线上，则________．（填“”“”或“”）
22. 造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响．某校科技节活动中，计划在如图所示的长，宽的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为，若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为的彩色纸带，求彩色纸带的宽度．
23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点和点在抛物线上，且，直接写出的取值范围；
（3）若直线经过、两点，直接写出关于的不等式的解集．
24. 如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，．
（1）求证：；
（2）若，，，请直接写出度数．
25. 如图1，是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内宽米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面上取点，测量点到墙面的距离，点到隧道顶面的距离．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了与的几组值，如表：
（米） 0 2 4 6 8
（米） 4.0 5.5 6.0 5.5 4.0
（1）根据上述数据，隧道顶面到路面的最大距离为________米，若满足的函数关系式为，请直接写出函数关系式：________；
（2）若如图（2）的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需离左侧墙及右侧墙的距离不小于米，且到隧道顶面的距离不小于米．按照这个要求，隧道能标注的限高应为多少米（精确到米）？
26. 抛物线与x轴交于、B两点，点C是抛物线顶点．
（1）求抛物线的解析式及点B的坐标；
（2）点是x轴上的动点，过点D作轴交直线于点E，交抛物线于点F．
①若，直接写出的长；
②若，求线段长度的最大值．
27. 中，，，点D是边中点，点E是边上动点（不与点B、点C重合），连接，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接．
（1）如图1，若点F刚好落在边上，连接，求证：；
（2）在图2中判断、、的数量关系，并证明；
（3）若，，直接写出的最小值为________．
28. 对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，点落在图形M上，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”，已知点．
（1）在点，，中，点________是线段关于原点O的“伴随点”；
（2）如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围；
（3）已知抛物线，其关于原点对称的抛物线上存在两个关于原点O的“伴随点”，直接写出n的取值范围．
参考答案
第Ⅰ卷（选择题共16分）
一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）
1. D
2. C
3. D
4. C
5. D
6. B
7. C
8. A
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、填空题（共16分，每题2分）
9.
10.
11. ，
12.
13.
14.
15. 16.
16. ①. 21 ②. 4
三、解答题（共68分，其中第17－19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22－23题每题6分，第24－25题每题5分，第26题6分，第27－28题每题7分）
17. ，
18. ，
19.
解：（1）如图，即为所求；
（2）由图可知：；
（3）由旋转可知：，
∴．
20.
证明：，
因为，所以，
所以方程总有两个实数根．
（2）解方程，得，
整理，得或，
∵方程的一个根比另一个根大3，∴或，
∴或．
21. （1）
（2）1，
（3）
22.
23. （1）
（2）
（3）或
24. 证明：（1）绕点B逆时针旋转得到，
，，
是等边三角形．
，
，
，
在和中，
，
；
（2），，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
．
25. （1）6，
（2）隧道需标注的限高应为米
26. （1）,
（2）①；②5
∴线段长度的最大值为5．
27.
解：（1）由旋转可得：，，
，
∵，点刚好落在边上，
∴
∴
又∵点是边中点，
垂直平分，
，
（2），理由如下，
如图所示，过点作，，则
∴，
又∵点是边中点，
∴
∴
∴，
∵是上的中线，
∴，
∴
∵，则
∴
又∵旋转，则，，
∴，，
在和中，
∴
∴
在中，，
∴；
（3）如图所示，连接，
∵，，
∴，
由旋转可得：，，
∵是上的中线，
∴，
∴
∵，则
∴
∴
∴
∴时，取得最小值，
在中，，
∴
故答案为：．
28. （1）和
（2）
（3）

展开更多......

收起↑