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第12章 全等三角形 检测题
(时间：100分钟　满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列说法正确的是( )
A．真命题的逆命题是真命题
B．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
C．命题一定有逆命题
D．定理一定有逆定理
2．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为( )
A．70° B．100° C．110° D．140°
　　　　　　　　
3．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝CD，则有( )
A．AC垂直平分BD B．BD垂直平分AC
C．AC与BD互相垂直平分 D．AD＝BD
4．如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′，BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是( )
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D．两点之间线段最短
5．如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，且AO平分∠BAC，那么图中全等三角形共有( )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50 cm，则AC＋BC＝( )
A．25 cm B．45 cm C．50 cm D．55 cm
　　　
7．四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足＋(2a＋3b－13)2＝0，则此等腰三角形的周长为( )
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D.若△ACD的面积为8，则△ABD的面积是( )
A．8 B．16 C．12 D．24
10．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连结AC，BD交于点M，连结OM.下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC.其中正确的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是________(填“真命题”或“假命题”).
12．如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE＝BF；分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N.若MN＝2，AD＝4MD，则AM＝_________．
　 　 　
13．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连结CE.若CE＝CA，∠ACE＝40°，则∠B的度数为_________．
14．(2024·内江)如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为_________．
15．如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD交于点P，连结AP.有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③PD＝PE；④BD＋CE＝BC；⑤S△PBD＋S△PCE＝S△PBC.其中正确的序号是___________________．
三、解答题(共75分)
16．(8分)如图，点D，E分别是等边三角形ABC边BC，AC上的点，且BD＝CE，BE与AD交于点F.求证：AD＝BE.
17．(9分)如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD＝AB.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若(1)中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE.求证：DE＝BE.
18．(9分)(2024·镇江)如图，∠C＝∠D＝90°，∠CBA＝∠DAB.
(1)求证：△ABC≌△BAD；
(2)若∠DAB＝70°，则∠CAB＝________°.
19．(9分)如图，已知AB＝CD，点E，F在线段BD上，且AF＝CE.
请从①BF＝DE；②∠BAF＝∠DCE；③AF＝CF中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得△ABF≌△CDE.
你添加的条件是：____________(只填写一个序号).
添加条件后，请证明AE∥CF.
20．(9分)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF，EF相交于点F.
求证：(1)∠C＝∠BAD；
(2)AC＝EF.
21．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
(2)求证：FB＝FE.
22．(10分)如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连结CD，BE.
(1)若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数；
(2)写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由．
23．(11分)如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连结CF.
【问题解决】
如图①，若点D在边BC上，求证：CE＋CF＝CD；
【类比探究】
如图②，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.C 2.C 3.A 4.A 5.C 6.C 7.B 8.D 9.B 10.B
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．__真命题_
12．_6__．
13．_35°__．
14．_100°__．
15．_①②③④⑤__．
三、解答题(共75分)
16．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC，在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE
17．
解：(1)如图所示，AG即为所求　(2)∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠DAE，∵AB＝AD，AE＝AE，∴△BAE≌△DAE(SAS)，∴DE＝BE
18．解：(1)在△ABC和△BAD中，∴△ABC≌△BAD(AAS)　(2)∵∠DAB＝70°，∠D＝90°，∴∠DBA＝90°－70°＝20°，由(1)知△ABC≌△BAD，∴∠CAB＝∠DBA＝20°，故答案为：20
19．解：当选择①BF＝DE时，△ABF≌△CDE，证明如下：在△ABF和△CDE中，∴△ABF≌△CDE(SSS)，∴∠B＝∠D，∴BF＝DE，∴BF＋EF＝DE＋EF，即BE＝DF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴∠AEB＝∠CFD，∴AE∥CF；当选择②∠BAF＝∠DCE时，△ABF≌△CDE，证明如下：在△ABF和△CDE中，∴△ABF≌△CDE(SAS)，∴∠B＝∠D，BF＝DE，同理可证：△ABE≌△CDF(SAS)，∴∠AEB＝∠CFD，∴AE∥CF；当选择③AF＝CF时，不能判定△ABF≌△CDE，故答案为：①(答案不唯一)
20．证明：(1)∵AB＝AE，D为线段BE的中点，∴AD⊥BC，∴∠C＋∠DAC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°，∴∠C＝∠BAD　(2)∵AF∥BC，∴∠FAE＝∠AEB，∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB，∴∠B＝∠FAE，又∵∠AEF＝∠BAC＝90°，AB＝AE，∴△ABC≌△EAF(ASA)，∴AC＝EF
21．解：(1)∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝36°，∵BD＝CD，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°－36°＝54°　(2)∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE，∴∠FBE＝∠FEB，∴FB＝FE
22．解：(1)∵∠ABC＝80°，BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝(180°－80°)＝50°，∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠A＝40°，∴∠ACB＝180°－40°－80°＝60°，∵CE＝BC，∴△BCE是等边三角形，∴∠EBC＝60°，∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝20°　(2)∠BEC与∠BDC之间的关系：∠BEC＋∠BDC＝110°.理由：设∠BEC＝α，∠BDC＝β，在△ABE中，α＝∠A＋∠ABE＝40°＋∠ABE，∵CE＝BC，∴∠CBE＝∠BEC＝α，∴∠ABC＝∠ABE＋∠CBE＝∠A＋2∠ABE＝40°＋2∠ABE，在△BDC中，BD＝BC，∴∠BDC＋∠BCD＋∠DBC＝2β＋40°＋2∠ABE＝180°，∴β＝70°－∠ABE，∴α＋β＝40°＋∠ABE＋70°－∠ABE＝110°，∴∠BEC＋∠BDC＝110°
23．解：【问题解决】在CD上截取CH＝CE，连结EH，如图①所示．∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等边三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，∴∠DEH＋∠HEF＝∠FEC＋∠HEF＝60°，∴∠DEH＝∠FEC，在△DEH和△FEC中，∴△DEH≌△FEC(SAS)，∴DH＝CF，∴CD＝CH＋DH＝CE＋CF，∴CE＋CF＝CD
【类比探究】线段CE，CF与CD之间的数量关系是CF＝CD＋CE.理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，过点D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图②所示．∵GD∥AB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD为等边三角形，∴DG＝CD＝CG，∵△EDF为等边三角形，∴ED＝FD，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，在△EGD和△FCD中，∴△EGD≌△FCD(SAS)，∴EG＝FC，∴CF＝EG＝CG＋CE＝CD＋CE

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