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湖南省邵阳市邵东市2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题
一、单选题
1．下列关系式中，是的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（　　）
A．k<2 B．k>2 C．k>1 D．k<1
3．方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根
4．用配方法解方程，变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，双曲线与直线相交于、两点，点坐标为，则点坐标为（　　）

A． B． C． D．
6．如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均月增长率为，则由题意得方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知菱形的两条对角线长是方程的两个根，则菱形的面积为（ ）
A．6 B． C．10 D．
9．已知是方程的两根，则的值为（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
10．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x＞0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是( )
A． B．10 C． D．
二、填空题
11．若反比例函数的图象在第二、四象限，则的值是 ．
12．若是方程的一个根，则的值为
13．方程的根为
14．若点、、都在反比例函数（k为常数）的图象上，则、、的大小关系为 ．
15．若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数a的值是 ．
16．若关于x的方程的一个根是3，则此方程的另一个根是 ．
17．如图，双曲线与在第一象限内的图象依次是m和n，设点P在图象m上，垂直于x轴于点C，交图象n于点A，垂直于y轴于D点，交图象n于点B，则四边形的面积为 ．
18．如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点，点的坐标是，点的坐标是．
（1）
（2）根据函数图象直接写出关于的不等式的解集为
三、解答题
19．解方程：
(1)
(2)
20．已知反比例函数的图象经过点．
(1)试确定m的值；
(2)直接回答点，是否在这个函数的图象上．
21．已知关于x的方程有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)化简：．
22．某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)求当时，的值．
23．如图，已知一次函数与反比例函数 的图象相交于点C 与点．
(1)求反比例函数的表达式及 C 点坐标．
(2)求三角形的面积．
24．在欧几里得的几何原本中，形如的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画，使，，，再在斜边上截取，连接，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根．

(1)用含，的代数式表示的长．
(2)图中哪条线段的长是一元二次方程的一个正根？请说明理由．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是线段上的一个动点，过点作轴，交反比例函数的图象于点，过点作的垂线交轴于点，是线段上一点，且，连接，设点的横坐标为．
(1)点的坐标为______；（用含的代数式表示）
(2)若，求点的坐标；
(3)若的面积为3时，点也在反比例函数的图象上，求的值．
26．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．
例题：求多项式的最小值．
解：．因为所以
当时，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1．
通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：

(1)【理解探究】
已知代数式，则A的最小值为__________；
(2)【类比应用】
张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由；
(3)【拓展升华】
如图，中，，，，点、分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，值为多少？
参考答案
1．C
解：A、不是反比例函数，故不符合题意；
B、不是反比例函数，故不符合题意；
C、是反比例函数，故符合题意；
D、不是反比例函数，故不符合题意；
故选C．
2．B
解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限，
∴，
解得，
故选：B．
3．D
解：方程中，，，，
∴，
∴此方程有两个不相等的实数根．
故选D．
4．C
解：，
移项得，，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得，
即．
故选：C．
5．B
解：∵双曲线与直线相交于、两点，
∴点与关于原点对称，
∵点坐标为，
∴点的坐标为．
故选：B．
6．B
解：当时，函数的图象在第一、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选项B正确，选项C错误，选项D错误；
当时，函数的图象在第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选项A错误；
故选B．
7．B
解：由题意知，二月的营业额为，三月的营业额为，
一月、二月、三月的营业额共1000万元，
，
故选：B．
8．A
解：设菱形的两条对角线长度为，
∴
∵菱形的两条对角线长是方程的两个根，
∴
∴．
故选：A．
9．A
解：.∵是方程的两根，
∴，=7，
∴
∴
=2+7- +
=
=2+7
=9.
10．C
解：∵正方形OABC的边长是6，∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，∴M（6，），N（，6），∴BN=6﹣，BM=6﹣．∵△OMN的面积为10，∴6×6﹣×6×﹣×6×﹣×=10，∴k=24，∴M（6，4），N（4，6）．作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值．∵AM=AM′=4，∴BM′=10，BN=2，∴NM′= = =．故选C．
11．
【详解】∵是反比例函数，
∴m2-2=-1，
解得m=1或-1，
∵图象在第二、四象限，
∴2m-1＜0，
解得m＜0.5，
∴m=-1，
故答案为-1．
12．2031
解：∵n是方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
13．，
解：，
开平方得：，
解得：，．
故答案为：，．
14．
解：反比例函数为常数），，
该函数图象在第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小，
点、，、都在反比例函数为常数）的图象上，，点、在第三象限，点在第一象限，
，
故答案为：．
15．1
解：根据题意得，，
解得，
故答案为：1．
16．
【详解】设另一个根为，
根据题意：，
解得，，
即另一个根为，
故答案为：．
17．4
解：根据题意，，
所以，四边形的面积．
故答案为：4．
18． 2 或
解：（1）把点代入，得，解得，
反比例函数的解析式为，
把点代入，得，解得；
（2）由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，
关于x的不等式的解集为或，
故答案为：①2；②或．
19．(1)
(2)
（1）解：
∴或，
解得；
（2）解：
∴或，
解得．
20．(1)
(2)D点在函数图象上，E点不在函数图象上
（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴；
（2）解：当时，，
当时，，
∴在这个函数的图象上，不在这个函数的图象上．
21．(1)
(2)
（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得；
（2）解：∵，
∴，，
∴
．
22．(1)
(2)
（1）解：∵气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，
∴设这个反比例函数的解析式为，
把时，代入，得，
解得：，
∴与之间的函数关系式为：；
（2）解：把代入得：
，
答：当时，的值为．
23．(1)反比例函数解析式为；C点坐标为
(2)16
（1）∵A点在一次函数图象上，
∴，
∴A点坐标为，
又∵A点在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为；
联立两函数解析式可得，
解得，或，
∴C点坐标为；
（2）设直线与x轴的交点为B，
对于，令，则，
∴点B的坐标为，
∴
．
24．(1)；
(2)，理由见解析．
（1）解：，，，
，
；
（2）线段的长是一元二次方程的一个正根，理由如下：
设，则，
在中，由勾股定理得：，
整理得：，
线段的长是一元二次方程的一个正根
25．(1)
(2)
(3)
（1）解：∵点，
设直线表达式为：，
则，
∴，
∴直线为，
∵点B是线段上的一个动点，点B的横坐标为，
∴，
故答案为：；
（2）解：延长，交x轴于M，
∵轴，
∴轴，
作轴于N，作于F，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点，
∴，
∴，即；
（3）解：∵的面积为3，
∴，即，
∴，
∴ ，
而，
∵点E、C在反比例函数的图象上，
∴，
整理得，，
解得或（舍）
∴，
∴．
26．(1)
(2)，见解析
(3)当时，的面积最大，且最大面积为
（1）解：
∵
∴
当时，，因此 有最小值，最小值为，
∴ A的最小值为．
（2）解：，理由如下：
∵，，
．
（3）解：由题意得：，
当时，的面积最大，且最大面积为．

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