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2025-2026学年九年级数学上册期中检测卷（1-3章）
一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分。）
1．若方程是关于的一元二次方程，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，线段是的直径，弦，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．某服装厂准备加工一批新型男士夹克衫，加工前对60名中年男子所需夹克衫的型号进行了调查，调查结果如下表：
型号（单位：cm） 70 72 74 76 78
人数 3 8 20 27 2
根据以上调查结果，下列说法正确的是（ ）
A．所需78号的人数太少，78号的可以不生产
B．这批男装可以一律按这个平均数生产
C．因为中位数为74，故74号的产量要占第一位
D．因为众数为76，故76号的产量要占第一位
4．如图，圆的四条半径分别是，其中点O，A，B在同一条直线上，∠AOD=90°,∠AOC=3∠BOC，那么圆被四条半径分成的四个扇形的面积的比是（　　）
A． B． C． D．
5．小明想制作一个“五角星”风筝，他通过上网查询风筝结构，其结构示意图如图所示，已知．若，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．
6．如图所示，是的直径，点是上一点，过点作的切线与的延长线交于点．若，则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分．）
7．将方程变形为的形式，则 ．
8．为备战温州市第十八届运动会，某区（县）对甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，他们射击测试成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环）如表所示：
甲 乙 丙 丁
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择 ．
9．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
10．如图：已知 ABC是等边三角形，O为 ABC外接圆圆心， ABC以O为旋转中心，按顺时针方向至少旋转 度与原来的三角形重合．
11．如图，是的直径，是上的点，过点作的切线交的延长线于点．若，则 ．
12．如图，点，在上，，若为上任一点不与点，重合，则的大小为 ．
13．某农场利用围墙为一边，用总长米的栅栏围成了如图所示的（1）（2）（3）的三块矩形区域，若这三块区域的面积都相等，且总区域面积为平米，设 ，试列出方程（化成二次项系数为的一元二次方程，要求为一般式） ；
14．太极拳自年月日申遗成功后，受到了越来越多人的喜爱．某地区把太极拳表演作为中考体育测试的一部分，某校九年级（一）班的名学生中招测试的太极拳表演成绩（满分分）如下表所示：
成绩／分
人数
已知这名学生成绩的平均数为分，众数为分，中位数为分，则的值为 ．
15．已知平面内有一角，一圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的边上截得的两条线恰好各是某正五边形的一边，那么这个角的度数为 ．
16．如图，在 ABC中，，过点作，且，连接，则的最大值为 ．
三、解答题（本题共10小题，共72分．）
17．（6分）解方程：
(1)； (2)；
18．（6分）探究题：已知一元二次方程 ．
(1)求证：无论 m 取何值，方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根为1，求 m 的值，并求出另一个根．
19．（6分）如图，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
20．（8分）解答下列问题：
(1)方程的两个实数根分别为、，则的值为 ，的值为 ．
(2)方程的两个实数根分别为、，求的值．
(3)若、是关于的方程的两个实数根且，求的值．
21．（6分）2022年2月8日，教育部在其官网上发布：“双减”依然是教育部2022年工作中的“重中之重”．“双减”政策实施以后，学生有了更多时间锻炼身体，提高身体素质．某校团委成员甲、乙分别随机调查了20名学生平均每天的体育活动时间，将收集到的数据进行了整理、描述和分析．部分信息如下：
【数据收集】
甲同学从全校随机抽取了20名学生，分别对其平均每天的体育活动时间进行调查，数据如下（单位：h）：
0.8　0.3　1.2　0.6　0.4　1.2　0.9　0.7　0.8　0.9　1.0　1.1　0.8　1.6　1.3　0.9　1.3　0.9　0.9　1.2
乙同学从八年级随机抽取了20名学生，分别对其平均每天的体育活动时间进行调查，数据如下（单位：h）：
1.2　0.6　1.0　0.8　0.3　1.6　1.4　1.5　1.1　0.6　1.1　0.8　0.7　1.2　0.7　0.4　1.3　1.1　1.1　1.3
【数据整理】
将平均每天的体育活动时间x（单位：h）分为四个等级：A：，B：，C：，D：．
甲同学得到如下统计表：
等级 A B C D
人数（名） 1 3 10 6
乙同学绘制的扇形统计图如图：
【数据分析】根据以上数据，得到以下统计量：
统计量 同学 平均数 众数 中位数
甲 0.94 0.9 0.9
乙 0.99 b c
根据以上信息，回答下列问题：
(1)_____，_____，_____；
(2)甲、乙两名学生中，哪名学生随机调查的数据能更好地反映出该校学生平均每天的体育活动时间的情况，并简要说明另一名学生调查的不足之处；
(3)《学校体育工作条例》要求中小学校要保证学生每天有1h体育活动的时间，请你结合（2）中判断的结果，利用该同学整理的统计量，对全校学生平均每天的体育活动时间情况作出评价．（写出一条即可）
22．（6分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形边长均为1．
(1)请在图①中利用直尺和网格画出两条直线，使它们将的面积四等分．
(2)如图②，M是正方形内一定点，请在图②中利用直尺和网格画出两条直线，要求其中一条直线必须过点M，使它们将正方形的面积四等分．
、
23．（6分）如图，是正五边形的外接圆，的半径为，点在上（点不与点A，B重合）．
(1)直接写出的度数__________；
(2)连接，，得到扇形，将扇形围成一个圆锥，求该圆锥的底面圆的半径．
24．（6分）已知：如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．如果、分别从、同时出发，那么几秒后，的面积等于？
25．（10分）如图， ABC内接于，是的切线，于点，连接．
(1)求证：；
(2)如图，若，求证：四边形为正方形；
(3)如图，交于点，若点为的中点，，求的长度．
26．（12分）问题提出
(1)如图1，在等边三角形中，已知，则边上的高为 ；
问题探究
(2)如图2，在中，已知，，半径为1，为上一动点，为线段上一动点．求的最小值；
问题解决
(3)如图3，某游乐园中有一块菱形场地，现要在菱形空地内确定一点，在点处立一根电杆，以便工作人员拉设四根装饰用的彩色灯带，，和，已知是边的中点，边有一条用来供电的电线，电线长度足够，可视为一条直线，为直线上任意一点，随着点和点位置的移动，，，和四条彩色灯带的长度也随之变化，为了更好保证最佳的观赏效果，要求，且．已知菱形场地中，，米，请问灯带的长度是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题
1．B
【分析】
【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，
∴且，
解得：．
故选：B
2．B
【详解】解：∵线段是的直径，弦，
∴，
∵，
∴．
：故选B．
3．D
【分析】
【详解】解：A、所需78号的人数少，78号的可以少量生产，故本选项错误，不符合题意；
B、如果这批男装一律以这个平均数生产，则身高不是平均数的人就无法穿，故本选项错误，不符合题意；
C、这组数据的中位数为74，但产量最高的应该是众数，这组数据的众数是76，所以76号的产量要占第一位，故本选项错误，不符合题意；
D、因为众数为76，故76号的产量要占第一位，故本选项正确，符合题意；
故选：D
4．A
【详解】解：∵点O，A，B在同一条直线上，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
5．D
【分析】
【详解】解：∵，
∴，
设，则，
∴，整理得，，
∴，
∴（不符合题意，舍去），，
∴，
故选：D ．
6．B
【详解】解：如图所示，连接，
∵过点作的切线与的延长线交于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
故选：B．
二、填空题
7．
【详解】解：，
，
，
．
．
故答案为：．
8．丙
【详解】解：甲、乙、丙、丁四名射击运动员的平均成绩好的有甲、丙、丁3人，比较3人成绩的方差，可知丙的方差最小，所以丙的成绩好且发挥稳定，应选择丙．
故答案为：丙．
9．且
【详解】解：由题意知，，，
解得：，，
∴k的取值范围是且，
故答案为：且．
10．120
【详解】解：∵O为为 ABC外接圆圆心，，
∴点O是 ABC的中心，
∵，
∴ ABC以O为旋转中心，按顺时针方向至少旋转与原来的三角形重合．
故答案为：120．
11．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴
∴，
故答案为：．
12．或
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：或．
13．
【详解】解：∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形CDEG的面积是矩形的倍，
∴，
∴；
设，则，，
由题意，得：，
∴，
∴，
∵总区域面积为平米，
∴，即；
∴
即．
故答案为：．
14．
【详解】解：由题意可得：，
解得：，
∴众数，中位数．
∴．
故答案为：．
15．或
【详解】如图，当角的顶点在圆上时，如交的两边，截取的两条弦为，此时恰好是正五边形的一个内角，
∴；
当角的顶点在圆外部，即交的两边，截取的两条弦为时，
则，
∴，
∴；
综上：这个角的大小是或；
故答案为：或．
16．
【详解】解：如图，作 ABC的外接圆，过点作交延长线于点，连接，
则，，
由题意得，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当三点共线时，有最大值．
故答案为：．
三、解答题
17．（1）解：
或
∴，；
（2）解：
或
∴，．
18．（1）∵ 对于一元二次方程（），根的判别式为,
又∵ 原方程为，其中，，,
∴
,
∵ 无论取何值，,
∴ ，即.
∴ 无论取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：∵ 方程有一个根为，将代入原方程,
∴ .
即,
整理得,
解得.
将代入原方程，得,
化简为，两边同乘得,
因式分解得,
解得，.
∴ 的值为，另一个根为.
19．（1）解：∵是的一条弦，，
∴
∴．
（2）解：∵是的一条弦，，
∴，即，
在中，
，
∴
20．（1）∵方程的两个实数根分别为、，
∴，；
（2）∵方程的两个实数根分别为、，
∴，
∴；
（3）∵、是关于的方程的两个实数根
∴
∴，
∴，
∵
∴
∴
整理得，
解得（舍去）或．
21．（1）解：，
；
乙同学统计的20个数据中，1.1出现了4次，出现的次数最多，
乙同学统计数据的众数；
将乙同学统计的20个数据按从小到大顺序排列为：0.3，0.4，0.6，0.6，0.7，0.7，0.8，0.8，1.0，1.1，1.1，1.1，1.1，1.2，1.2，1.3，1.3，1.4，1.5，1.6，第10位和第11位都是1.1，
乙同学统计数据的中位数；
故答案为：25，1.1，1.1；
（2）解：甲同学随机调查的数据能更好地反映出该校学生平均每天的体育活动时间的情况；
乙同学随机调查的数据的不足之处是：乙同学的样本数据是从八年级学生平均每天的体育活动时间中选取的，样本数据选取不具有代表性；
（3）解：从“甲同学整理的统计量平均数的角度”看：
甲同学选取样本数据的平均数小于1 h，
全校学生平均每天的体育活动时间的平均水平低于《学校体育工作条例》的要求．
或“从甲同学整理的统计量中位数的角度”看：
甲同学选取样本数据的中位数小于1 h，
全校大多数学生平均每天的体育活动时间没有达到《学校体育工作条例》的要求．(答案不唯一)
22．（1）解：如图，过圆心O作水平和竖直的直线即可：
（2）解：设正方形的中心是O，作直线，过O作的垂线，如图：
23．（1）如图，

连接，，
是正五边形的外接圆，
，
∴∠APB=∠AOB=36° ，
，
，
故答案为：或；
（2）

，
，
①当时；的长度，
该圆锥的底面圆的半径为（cm），
②当时，的长度，
该圆锥的底面圆的半径为（cm），
答：圆锥的底面圆的半径为4cm或6cm.
24．解：设运动秒后，的面积等于，
则，，
，
，
，
当时，
整理得：，
解得：或，
当时，，
不符合题意，舍去，
运动秒时，的面积等于．
25．（1）证明：是的切线，
，
于点，
，
，
，
，
；
（2）证明：由（1）可知：，，
∵，
，
，
∴四边形为矩形，
，
四边形为正方形；
（3）解：连接，，
点为的中点，
，
∵，
，
在与中
，
∴，
，
，
，
∴的长度为．
26．（1）解：如图，过A作交于点H，
∵ ABC是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）如图，过O作交于点M，交于点N，
此时即为的最小值，
∵，，
∴，
由勾股定理得，
，
∵，
∴，
∴的最小值为3；
（3）∵，
∴点F在以为直径的圆上，
∵E为中点，
∴以E为圆心，为半径，作，
∵，
∴为的切线，连接，在中，为半径，
∴，
在中，
∵为定值4，
∴当最小时，由勾股定理可得，可取最小值，
∵四边形为菱形，且，
∴连接， ， ABC为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
已知点P为直线上一动点，而E为边中点，
此时即为的最小值，
在中，
，
但题中要求，若F点位于线段上，则不符合要求，
再以为直径做圆，交于点，，
此时，且皆与相切，为的最小值，
∵点F在菱形内，
连接，得，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为．

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