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2025-2026学年四川省德阳中学校高二上学期第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.如图，是水平放置的的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，顶点、均在坐标轴上，且的面积为，则的长度为( )
A. B. C. D.
3.已知一组数据为，则这组数据的分位数是( )
A. B. C. D.
4.若，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
7.在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是( )
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则解的个数为
C. 若为锐角三角形，则．
D. 若，则
8.荀子劝学中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍那么当“进步”的值是“退步”的值的倍，大约经过 天．参考数据：，，
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 至少有一个实数，使
B. “”是“”的充分不必要条件
C. 命题“”的否定是假命题
D. “集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件
10.在图书馆的借书抽奖活动中，工作人员准备了编号为、、、的个神秘书签，书签除编号外完全相同．小张依次不放回地抽取两张书签，依次抽出后记录编号( )
A. 第一张书签编号比第二张大的概率是
B. “两书签编号之和为”的概率是
C. “抽到第一张书签编号为奇数”与“两书签编号和为”相互独立
D. “抽到第一张书签编号为奇数或两书签编号和为”的概率为
11.如图，在正三棱柱中，，，，，分别为棱，，，的中点，，则以下结论正确的是( )
A. 平面
B.
C. 点到平面的距离为
D. 三棱锥的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，若，则集合子集的个数为 个
13.已知、，且是关于的方程的一个根， ．
14.已知函数若实数，，满足，且，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知空间中三点，，．
设，且，求的坐标；
求的面积．
16.本小题分
已知函数．
若，求函数的值域；
若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在平行六面体中，，，且点为与的交点，点在线段上，且

求的长；
设，求，，的值．
与所成角的余弦值．
18.本小题分
某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分分分及以上为认知程度高，结果认知程度高的有人，按年龄分成组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图．

求的值，并根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄；
现从以上各组中用分层抽样的方法选取人，担任本市的“奥运会”宣传使者若有甲年龄，乙年龄两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率．
19.本小题分
如图，四棱锥的底面是正方形，平面，已知分别为的中点，平面与棱交于点．
求证：平面；
求平面与平面的夹角的余弦值；
判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.【详解】由已知得．
因为，所以可设，
所以，解得，
所以或．
由题可得，，
所以，，
所以，
又，所以，
所以的面积．

16.【详解】化简函数，
利用恒等式，，，
得到：
，
当时，，在的值域为，
所以若，函数的值域为．
令，解得，
则或，
即或，
在区间内，前两个非负解为，，后续解依次为，等，
为使恰好有两个零点，需满足，
因此，的取值范围为．

17.【详解】设，因，，
则，
因，
则
．
即的长为；
由图可得：
，
因，故；
因，而，
则，，
，
设与所成角为，则．
即与所成角的余弦值为．

18.【详解】由题意有：，解得，
设这人的平均年龄为，
则；
由题意得，第四组应抽取人，记为甲，，，，
第五组抽取人，记为乙，，
对应的样本空间的样本点为：
，共包含个等可能的样本点
设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”，
则，共包含个等可能的样本点
所以．
答：甲、乙两人至少有一人被选上的概率为．

19.【详解】因平面，平面，则，
在正方形中，，因平面，
则平面，因平面，则，
又，点是的中点，则，
因平面，故平面．
由平面，因平面，则，
因平面，平面，则，
又平面，平面，
因平面，则，
因点是的中点，，则，
因平面，则平面，
因平面，则，
因平面，则平面，
因平面，则，即．
由平面，因平面，则，即，
又，则，则，
因，，，则，即．
以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，
则，故可取，
而平面的法向量可取为，
设平面与平面的夹角为，
则．
即平面与平面的夹角的余弦值为．
由可得，则，假设线段上存在一点，满足，
代入坐标，可得，则，
由已得平面的法向量为，
则点到平面的距离，解得或，
故点的坐标为或，
即在线段上存在一点，使得点到平面的距离为，其坐标为或．

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