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2025-2026学年上海市格致中学高二10月月考数学试卷
一、单选题：本题共4小题，第1、2题每题3分，第3、4题每题4分，共14分。
1.下列四个函数中，以为最小正周期的奇函数是( )
A. B. C. D.
2.已知，是空间中两条直线，它们在平面上的投影分别是，，则“”是“”的 条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
3.已知是的外心，且满足，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.动点在正方体从点开始沿表面运动，且与平面的距离保持不变，则动直线与平面所成角正弦值的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，第5-10每小题3分，第11-16每小题4分，共42分。
5.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则 ．
6.已知，，则 ．
7.如图，已知是正方体的棱的中点，则直线与所成角的余弦值为 ．
8.已知等差数列的前项和为，，则 ．
9.若，是函数两个相邻的零点，则实数的值为 ．
10.一水平位置的平面图形的斜二测直观图是一个边长为的正三角形，则这个平面图形的面积是 ．
11.空间中有个不同的平面两两相交，则它们交线的条数最多是 条
12.在中，角，，所对的边分别为，，，且则的值为 ．
13.如图，在棱长为的正方体中，设过点的平面与平面的交线为，则 ．
14.数列满足为正整数若数列是严格增数列，则实数的取值范围为 ．
15.已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则的最大值为 ．
16.如图，矩形中，分别为边上的定点，且，分别将沿着向矩形所在平面的同一侧翻折至与处，且满足，分别将锐二面角与锐二面角记为与，则的最小值为 ．
三、解答题：本题共4小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，点是圆周上不同于的任意一点．

证明：平面；
若，求二面角的大小．
18.本小题分
已知函数．
化简函数，并求函数的值域；
已知常数，若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围．
19.本小题分
如图，已知四边形为梯形，，是平面外一点，且，，，是上的点，满足；点为棱上的点，满足．

求证：平面平面；
平面与棱相交于点，求的值．
20.本小题分
在平行四边形中，过点的直线与线段分别相交于点，若，；
求证：与的关系为；
设，定义函数，点列在函数的图像上，且数列是以为首项，为公比的等比数列，为原点，令，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由；
设函数为上的偶函数，当时，，又函数的图像关于直线对称，当方程在上有两个不同的实数解时，求实数的取值范围结果用表示．
参考答案
1.
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14.
15.
16.
17.因为是圆的直径，点是圆周上不同于的任意一点，
所以，
又垂直于圆所在的平面，底面圆，
所以，
又平面，平面，且相交于点，
所以平面；
由得平面，平面，所以，
又，平面与平面相交于，
所以即为二面角的平面角，
又垂直于圆所在的平面，底面圆，
所以，
所以，又，
所以，所以，
所以二面角的大小为．

18.，
由于，则；
，
由得：，
的递增区间为，
在上是增函数，当时，，
，解得，
的取值范围是．

19.

连接，
在中，因为，
所以，且，
又因为，，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
在中，因为，所以，
所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又犹豫，且平面，
所以平面平面．
因为，又因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以，又因为，所以，
所以．

20.根据题意，在平行四边形中，过点的直线与线段分别相交于点，由平行线的性质，可得，
又，，即，，
所以，从而；
又，则，所以，
又数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，，
所以
，
假设存在点，使得，则，
即，解得，
故存在满足条件；
当时，，
又函数的图像关于直线对称，则，
又函数为上的偶函数，则，
所以，所以函数的周期为，
所以当，则，所以，
因为，所以，从而
又，所以
设，，所以当方程在上有两个不同的实数解时，
即与的图像有两个交点，
当函数的图像经过点时，，
当时，与的图像在上有两个不同的解．
所以实数的取值范围是．

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