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2025-2026学年上海市市西中学高二上学期10月阶段测试数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间的一个点，一条直线，一个平面用集合的语言表述它们之间可能的位置关系，表述正确的是( )
A. B. C. D.
2.已知是空间三条不同的直线，则下面命题正确的是( )
A. 若且，则 B. 若且，则
C. 若且，则共面 D. 若共点，则共面
3.在空间中，过点作平面的垂线，垂足为，记设，是两个不同的平面，对空间任意一点，，，恒有，则( )
A. 平面与平面垂直
B. 平面与平面所成的锐二面角为
C. 平面与平面平行
D. 平面与平面所成的锐二面角为
4.已知直线、是互相垂直的异面直线，平面经过直线，直线与平面平行．动点在平面上，若到、的距离相等，则的轨迹是( )
A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线
二、填空题：本题共12小题，共36分。
5.两条异面直线所成角的取值范围为 用弧度制表示．
6.设为虚数单位，则复数的虚部为 ．
7.向量在向量方向上的数量投影为 ．
8.已知正实数满足，则的最大值为 ．
9.在长方体中，，，，则直线到平面的距离为 ．
10.正方体的各表面在一个平面上的展开图如图所示，则展开图中的面对角线与在正方体中的位置关系为 选填“平行”、“相交”、“异面”．
11.在梯形中，，用“斜二测画法”作出梯形水平放置的直观图，如图所示．若，，，则梯形的面积为 ．
12.已知等腰直角三角形的一条直角边在平面上，斜边与平面所成的角为，则另一条直角边与平面所成角的大小为 ．
13.如图，已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面四边形内包括边界的一动点，若直线与平面无公共点，则点在四边形内运动所形成轨迹的长度为 ．
14.已知函数的最小正周期满足，且的图象关于点对称，则 ．
15.已知长方体的底面是边长为的正方形，为棱上的任意一点，为棱的中点，若棱上至少存在一点使得，则棱的长的最大值为 ．
16.已知数列满足为正整数，若是严格增数列，则首项的取值范围为 ．
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知点和直线，证明：过点至多有一个平面与直线垂直．
18.本小题分
已知，平面，，，点为的中点，过点分别作平行于平面的直线交、于点、．
证明：平面平面；
证明：平面平面，并求平面到平面的距离．
19.本小题分
已知函数．
若函数的图象经过点，求解不等式；
若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围．
20.本小题分
如图所示为一名曰“堑堵”的几何体，已知平面，，四边形为正方形．
九章算术中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．判断四面体是否为鳖臑？若是，写出其每一个面的直角，并加以证明：若不是，请说明理由．
求直线与平面所成角的大小．
21.本小题分
已知四面体的条棱中，有条棱长为，有条棱长为．
若，证明：；
若，求二面角的大小用含的式子表示；
若，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.异面
11.
12.或
13.
14.
15.
16.
17.【详解】假设过点有至少两个平面与直线垂直，
设，所以，
又因为，所以，与矛盾，假设不成立，
所以过点至多有一个平面与直线垂直．

18.【详解】由平面，平面，则，而，
由，平面，则平面，
由平面，则平面平面；
依题意可知，平面，平面，
由于，平面，所以平面平面，
由知平面，则平面，，
所以平面，平面，
由平面，平面，平面平面，
所以，又点为的中点，则是的中点，
所以平面到平面的距离为．

19.【详解】，则，
，，，
，定义域为，
要解不等式，则，．
又在定义域内是严格增函数，
由，则，解得．
综上所述，不等式的解集为．
的定义域为，存在，使得、、依次成等差数列，
则在方程中，应满足
由，解得，问题转化为时，方程有实数解．
又，则，
即．
为严格单调函数，
，
，两边同除以得，．
令，由，则，
在有解．
又在上是严格增函数，
，即，
又，则．

20.【详解】底面，，，都在底面上，
，，，
四边形是正方形，
，，平面，
平面，又平面，
，
四面体是鳖臑；
由平面，即平面，平面，
所以平面平面，平面平面，平面，
所以到平面的距离，即为到直线的距离，
由题设及知，，，
所以，可得，故，
由等面积法知，，得，
若直线与平面所成角为，则，可得．

21.【详解】当，则条棱长均为，故四面体为正四面体，
若为的中点，而为等边三角形，则，
由，平面，则平面，
由平面，则；
当，则四面体中有条棱，其它条棱长为，
如图为的中点，均为等边三角形，则，
故为二面角的平面角，，
此时，
当时，
当时；
当，根据对称性有如下两种情况，
若条对边的棱长为，不妨设为，则，
如下图为的中点，其中为全等的等腰三角形且，
所以，则，得，
综上，；
若条邻边的棱长为，不妨设为，则，
如下图为的中点，其中均为等腰三角形且，则，
所以，则，得，
综上，；
所以，条对边的棱长为时；条邻边的棱长为时．

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