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2025-2026学年上海市奉贤中学高二上学期10月月考数学试卷
一、单选题：本题共4小题，第1、2题每题4分，第3、4题每题5分，共18分。
1.某班级有男生人，女生人，从中抽取人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了名男生、名女生，则下列命题中正确的是( )
A. 这次抽样可能采用的是简单随机抽样
B. 这次抽样一定没有采用分层抽样
C. 这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率
D. 这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率
2.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设“出现的点数为偶数”为事件，“出现的点数大于”为事件，则下述正确的是( )
A. 与对立 B. 与互斥
C. 与相互独立 D.
3.某密码锁共设四个数位，每个数位的数字都可以是，，，中的任一个现密码破译者得知：甲所设的四个数字有且仅有三个相同；乙所设的四个数字有两个相同，另两个也相同；丙所设的四个数字有且仅有两个相同；丁所设的四个数字互不相同．则上述四人所设密码最安全的是．
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
4.现有编号分别为的小球各两个，每个球的大小与质地均相同．将这个球排成一列，使得任意编号相同的球均不相邻，记满足条件的排列个数为，则( )对任意都是偶数；．
A. 都是真命题 B. 是真命题，是假命题
C. 是假命题，是真命题 D. 都是假命题
二、填空题：本题共12小题，第5-10每小题4分，第11-16每小题5分，共54分。
5.若，则 ．
6.某校有个班，每班有人，要求从每班随机选派人观看“校十佳歌手赛”决赛．在这个问题中样本容量是 ．
7.设两个事件与都不发生的概率为，则事件与事件至少有一个发生的概率为 ．
8.平面上四条平行直线与另外五条平行直线垂直，则它们可以构成 个矩形．
9.若，则 ．
10.的展开式中的第四项是 ．
11.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施个程序，其中程序只能出现在第一或最后一步，程序和在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有 种用数字作答．
12.一个不透明口袋中有个完全相同的小球，把它们分别标号为，，，，现随机取一个小球然后放回，再随机取出一个小球，则第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号的概率为 ．
13.如图，在棱长为的正方体中，点是的中点，则下列说法正确的有 ．
与平面所成角的正弦值为
与所成角的余弦值为
点到直线的距离为
和平面的距离为
14.如图，在中国象棋的模盘上，敌方有一无名小卒，小卒未过河前只能竖行，不能横行，过河后每次只可横行或竖行一格，需想办法到达敌军的“帅”处，从而坐上“正堂”，赢得胜利，已知小卒中途不会受到任何阻碍，则小卒坐到“正堂”的最短路线有 条．
15.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在年中国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．如图所示的杨辉三角中，从第行开始，每一行除外，其他每一个数字都是其上一行的左右两个数字之和，若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为，则这一行是第 行．
16.现有一盒子里装有序号分别为，，，，，的六个大小、质地完全相同的小球，甲、乙、丙三人依次有放回地从盒子里各随机抽取一次每个球被抽取的可能性相同，记录被抽取的球的序号分别为，，，则满足的情况有 种
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解方程：；
求关于的不等式的解集．
18.本小题分
为进一步增强学生的疫情防控意识，友实学校组织学生进行了新冠肺炎疫情防控科普知识线上问答，共有人参加了这次问答，将他们的成绩满分分分成六组：，，，制成如图所示的频率分布直方图．
求图中的值；
用分层抽样的方法从问答成绩在内的学生中抽取人参加疫情防控知识宣讲，那么在，内应各抽取多少人？
19.本小题分
在四棱锥中；平面，四边形是矩形，，，，分别是，的中点．
求证：平面；
求多面体的体积．
20.本小题分
已知为正整数的展开式中，末三项的二项式系数的和等于．
求的值，从集合中任取一个元素，求该元素满足不等式的概率；
若，求除以所得的余数；
求展开式中系数最大的项．
21.本小题分
规定，其中，是正整数，且，这是组合数是正整数，且的一种推广．
求的值；
组合数的两个性质：，是否都能推广到是正整数的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明，若不能，则说明理由；
已知为正整数，，求证：；
已知组合数是正整数，证明：当，是正整数时，．
参考答案
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17.解：，
即，则或，
由，即，故；
，，
则有，化简得，
即，
解得，又，故，
即该不等式的解集为．

18.解：．
因为，
所以在，内应各抽取：
，，．
故在，内分别抽取，，人

19.解：取的中点，连接，，
则，且，
因为四边形是矩形，是的中点，所以，且，
由此可得，且，所以四边形是平行四边形，
因为四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
已知，则，
因为平面，所以是四棱锥的高，，
四边形是矩形，其面积，
所以；
因为是的中点，所以，是的中点，，
则，，
的面积，是三棱锥的高，
所以，，
多面体的体积．

20.解：展开式末三项的二项式系数分别为，
则，即，整理得，
而为正整数，因此，集合，
从集合中任取一个元素的试验有个样本点，
满足不等式的事件有一个样本点，所以所求概率为．
当时，
，
所以除以所得的余数等于除以所得的余数．
由知，展开式通项为，
设第项即为系数最大的项，则，整理得，解得，
所以展开式系数最大的项为或．

21.解：由题意可得：．
性质不能推广，例如当时有意义，但无意义；
性质能推广，它的推广形式是：，，是正整数．
证明：当时，有，
当时，
．
因，
而，
所以；
当时，组合数；
当时，；
当时，由可知，
则，
因为时，，所以，即时，．
综上，当，是正整数时，．

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