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2025-2026学年长沙市周南中学高二上学期第一次数学月课时作业
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线的倾斜角为，则实数值为( )
A. B. C. D.
2.已知直线，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.圆关于直线对称的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
5.已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知圆和直线交于两点，为坐标原点，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
7.设是圆上任意一点，若的最小值为，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知直线与圆相交于，两点，下列说法正确的是( )
A. 的最小值为
B. 若圆关于直线对称，则
C. 当时，对任意，曲线是恒过直线与圆的交点的圆
D. 若为坐标原点四点共圆，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上一点，且，则下列说法正确的是( )
A. B. 椭圆的焦距为
C. 的周长为 D. 点在圆上
10.在棱长为的正方体中，点在正方形内运动含边界且平面，则( )
A. 点的轨迹长度大小为
B. 三棱锥的体积始终不变
C. 异面直线与所成角的大小可能为
D. 当异面直线与所成角最大时，四面体的外接球的表面积为
11.已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是( )
A. 曲线围成的图形的面积为
B. 曲线有且仅有条对称轴
C. 点到直线的距离的最大值为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为 ．
13.已知点，，若直线过点，且、到直线的距离相等，则直线的一般式方程为 ．
14.在棱长为的正方体中，是的中点，点是正方形内包括边界的动点，且满足，则三棱锥体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的三个顶点是，直线过点且与边所在直线平行．
求直线的方程；
求的面积．
16.本小题分
已知圆过两点，且圆心在直线上
求圆的方程；
若点是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点，求动点的轨迹方程．
17.本小题分
已知圆，且圆被直线截得的弦长为．
求；
若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线的方程．
18.本小题分
如图，球的半径为，是球的一条直径，是线段上的动点，过点且与垂直的平面与球的球面交于，是的一个内接正六边形．

若是的中点．
求六棱锥的体积；
求二面角的余弦值；
设的中点为，求证：为定值．
19.本小题分
已知点是圆内一点，直线．
若圆的弦恰好被点平分，求弦所在直线的方程；
若过点作圆的两条互相垂直的弦，求四边形的面积的最大值；
若是上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，D.证明：直线过定点．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：由题意可知：直线的斜率为：，
，直线的斜率为，
直线的方程为：，即．
，
直线的方程为，即，
设点到直线的距离，，
的面积．

16.解：由题意得，的中点坐标为，，
故直线的中垂线方程为，即，
由，得，则圆心，
又圆的半径，
所以圆的方程为或
由线段的垂直平分线交于点知，，
由知，

所以，
由椭圆的定义知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，
设其方程为，则，即，
则，
故动点的轨迹方程为．

17.解：由配方得：，
可得圆的圆心为，半径为，
因圆被直线截得的弦长为，
则点到直线的距离为，
即，解得．
由知，，
若直线过原点，此时在轴和轴上的截距均为，如图
设其方程为，由可得，解得，
此时直线的方程为；
若直线不过原点，依题意直线的斜率为，如图
可设其方程为，则，即解得或．
故直线的方程为或 ．
综上，切线的方程为，或，或．


18.解：因为到的距离为，所以的半径为，
所以正六边形的边长为，
所以正六边形的面积为，
且到的距离为，所以六棱锥的体积为；
以为原点，为轴，的中垂线为轴，为轴建系，

则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量，
则
令，得，
设平面的一个法向量
则
令，得，
所以．
由已知，点在过且与所在平面垂直的一个平面内，记这个平面为．
在平面内，以为坐标原点，以为轴，以中垂线为轴建立平面直角坐标系，
设，则，，
因为，所以，
即，又，的坐标分别为，
所以

19.解：因圆的弦恰好被圆内的点平分，由垂径定理，可得，即，
则弦所在直线方程为，即．
因圆的半径为，
如图，设点到直线、的距离分别为，则，
因，
故，
，当且仅当，即时取等号，
故四边形面积的最大值为．
因，则、两点均在以为直径的圆上，
如图，设，则的中点为，
圆的半径为，
则该圆的方程为，即：．
又、在圆上，
则圆与圆的公共弦的方程为，即，
由，解得，故直线过定点．

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