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2025-2026学年湖南省长沙市南雅中学高二上学期10月限时训练
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知圆锥的母线长为，高为，则圆锥的全面积为( )
A. B. C. D.
3.为庆祝中国共产党成立周年，某市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，践行社会主义路线，某高中有高一、高二、高三分别人、人、人，欲采用分层抽样法组建一个人的高一、高二、高三的红歌传唱队，则应抽取高三( )
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
4.在中，，则( )
A. B. 或 C. D. 或
5.已知，是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6.已知圆及点，若在圆上有且仅有一个点，使得，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
7.设，为正三角形中边上的两个三等分点，且，则
A. B. C. D.
8.已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为的左，右顶点．为上一点，且轴．直线与轴交于点，若直线经过的中点，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于直线与圆，下列说法正确的是( )
A. 直线过定点 B. 直线与圆不可能相切
C. 直线被圆截得的弦长的最小值为 D. 圆上一点到点的最大距离为
10.椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，则( )
A. 的最大值为
B. 椭圆的离心率为
C. 椭圆上存在点，使得
D. 的最小值为
11.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是( )
A.
B. 存在点，使平面
C. 存在点，使直线与所成的角为
D. 点到平面与平面的距离和为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，点在直线上，若直线平行于直线，则点坐标为 ．
13.已知事件与相互独立，，，则 ．
14.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角的对边分别为，已知．

求；
若，如图，为边上一点，，，求的面积．
16.本小题分
某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这人根据其满意度评分值百分制按照分成组，制成如图所示频率分直方图．
求图中的值；
求这组数据的平均数和中位数；
已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为：，若在满意度评分值为的人中随机抽取人进行座谈，求人均为男生的概率．
17.本小题分
已知圆．
已知定点，圆上任意一点，求线段的中点的轨迹方程；
直线与圆交于不同的两点、，且，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，为矩形，且，，．
求证：平面；
若在的左侧，设三棱锥体积为，四棱锥体积为，且．
求点到平面的距离；
求平面与平面所成夹角的正弦值．
19.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，过点作两条直线，，直线与交于，两点，的周长为．
求的方程；
若的面积为，求的方程；
若与交于，两点，且的斜率是的斜率的倍，求的最大值．
参考答案
1.【答案】
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3.【答案】
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6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】．
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：在中，因为，由正弦定理得，
因为，所以，所以，同时平方得，

所以，因为，所以．
解法：
设，易知，，
所以
在中，由余弦定理得，，
又，，，
所以，解得，
又，得，
所以，
在中，，，，所以，
所以，
所以．
解法：
因为，所以，
因为，所以，即，
所以，因为为锐角，所以，
又，，根据正弦定理得，
所以，，
所以
．

16.【答案】解：由，解得．
这组数据的平均数为．
中位数设为，则，解得．
满意度评分值在内有人，其中男生人，女生人记为，
记“满意度评分值为的人中随机抽取人进行座谈，恰有名女生”为事件，
从人中抽取人有：，，，，，，，，，
所以总基本事件个数为个，包含的基本事件个数为个，
所以．

17.【答案】解：设点，由，为线段的中点，得点，
而点为圆上任意一点，则，化简得，
所以线段的中点的轨迹方程为．
取的中点，由，得，则，
又，，因此，
解得，由直线与圆相交，得，因此，
实数的取值范围是．


18.【答案】解：在中，，，，
所以，解得：，
所以，所以，
又，为平面内两条相交直线，
所以平面；
由知，平面，，
所以平面，又在平面内，所以平面平面，
在平面内，所以，
在三角形中，，，，
所以，又，
所以，
又，
又，
所以，又，
所以，
取的中点，，可知：，
因为平面平面，交线为，
又在平面内，
所以平面，如图建立空间直角坐标系
易得：，
所以，
设平面的法向量为，
则
所以
令，得，即，
又，
所以求点到平面的距离，
，
设平面的法向量，
则，所以
令，则，可得：，
设平面与平面所成夹角为，
所以，
所以，
即平面与平面所成夹角的正弦值为．

19.【答案】解：设椭圆的半焦距为，由题意知，所以，
的周长为，所以，
所以，故的方程为．
若的斜率为，则共线，与条件矛盾，
所以的斜率不为，设，，，
联立，得，
所以，．
所以，
由，解得，
所以的方程为或．
由可知，
因为的斜率是的斜率的倍，所以，
同理可得．
所以，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为．


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