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2025-2026学年江苏省苏州第十中学校高二上学期十月阶段性检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列，，，，，，则是这个数列的第 项
A. B. C. D.
2.记等差数列的前项和为若，则( )
A. B. C. D.
3.若数列满足，，则( )
A. B. C. D.
4.记为数列的前项和．若，则( )
A. B. C. D.
5.设等差数列的前项和分别为若，则( )
A. B. C. D.
6.生活中有各种不同的进制，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用十进制．任何进制数均可转换为十进制数，例如八进制数转换为十进制数的算法为若将三进制数转换为十进制数，则转换后的数是( )
A. B. C. D.
7.已知正项等比数列的前项积为，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知数列的各项均为正数，数列是常数列，则数列( )
A. 是递增数列 B. 是递减数列 C. 先递增后递减 D. 先递减后递增
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是( )
A. B.
C. 为常数 D.
10.设等差数列的前项和为，公差为，，，，则下列结论正确的是( )
A.
B. 当时，的最大值为
C. 数列为等差数列，且公差为
D. 记数列的前项和为，则最大
11.已知数列满足，设的前项和为，则下列说法正确的有( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线经过两点，且倾斜角为，则的值为 ．
13.已知数列满足现将数列和的公共项由小到大组成新数列，则 ．
14.数列满足，则数列的通项公式为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列是等差数列，数列是公比大于的等比数列．且．
求和的通项公式；
记数列的前项和为，求．
16.本小题分
已知数列满足，且对任意的，都有
令，证明：数列为等比数列；
求数列的通项公式，及数列的前项和．
17.本小题分
已知函数，数列满足．
求证：为定值，并求数列的通项公式；
记数列的前项和为，求证：．
18.本小题分
某区域市场中智能终端产品的制造全部由甲、乙两公司提供技术支持．据市场调研，商用初期，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有转而采用甲公司技术，采用甲公司技术的产品中有转而采用乙公司技术．设第次技术更新后，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为和，不考虑其他因素的影响．
用表示，并求使数列是等比数列的实数；
经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到及以上？若能，则至少需要经过几次技术更新？若不能，请说明理由．
19.本小题分
人教版选择性必修二第页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如．
求的值；
已知数列满足，求的前项和；
若数列的前项和为，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.【答案】
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8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】或
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且．
依题意得，解得，则或．
又因为，所以，解得，故，．
由上问得，则，
令，解得，此时，
令，解得，此时，
则前项和为，
第到第项和为，
则．

16.【答案】【详解】已知，则，
因为，所以，
则，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
由可知，
因为，所以，
，
，
先求，这是首项为，公比为的等比数列的前项和，
可得：，
再求，根据等差数列求和公式可得：，
所以．

17.【答案】【详解】由题意得
，
则，
得到，
两式相加得，即．
由题意得，
则，
而，而，可得当时，，
令，因为反比例函数在上单调递减，
所以在上单调递增，即在上单调递增，故得证．

18.【答案】【详解】由题意知，经过次技术更新后，，
则，
即设，则，
令，解得又，
所以当时，是以为首项，为公比的等比数列．
由可知，
则，．
所以经过次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比为，
对于任意，所以，
即经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比不会达到以上．

19.【答案】【详解】因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以
因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以
正偶数与不互素，所有正奇数与互素，比小的正奇数有个，所以；
所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，，，，，共个，
所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个，
即，
两式相减得
由可知
，
得 恒成立，
令，
则，
可得；当 时，，当时，，
所以的最大值为，
故

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