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2025-2026学年江苏省苏州市苏州国裕外语学校高二上学期10月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列中，，，则的公差为( )
A. B. C. D.
2.在和之间插入个实数，使得成等比数列，则的值为( )
A. B. 或 C. D.
3.在数列中，，，则( )
A. B. C. D.
4.在数列中，，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知数列的前项和为，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则( )
A. B. C. D.
7.已知是各项均为正整数的递增数列，前项和为，若，当取最大值时，的最大值为( )
A. B. C. D.
8.设数列的前项和为，，且，若存在，使得成立，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和为，则下列说法正确的是( )
A. 数列为递减数列 B. 当且仅当时，取得最大值
C. D. 是等比数列
10.已知为数列的前项和，，若数列既是等差数列，又是等比数列，则( )
A. 是等差数列
B. 的前项和为
C. 对恒成立
D. 最大项有两项
11.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”按照如图所示的分形规律，可得如图所示的一个树形图若记图中第行白圈的个数为，其前项和为；黑圈的个数为，其前项和为，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列的前项和为，且满足，则 ．
13.在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取得最大值，则的取值范围为 ．
14.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”等如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过个步骤变成简称为步“雹程”现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：为正整数，当时， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在数列中，，
证明：数列是等比数列．
求数列的前项和．
16.本小题分
已知为等差数列，其前项和为，，，且也为等差数列．
求的通项公式；
设，求数列的前项和．
17.本小题分
已知正项数列的前项和为，且满足 ．
求的通项公式；
已知设数列的前项和为当时，，求实数的范围．
条件：，且等差数列；；请从这三个条件中任选一个，并将其序号填写在答题卡对应位置，并完成解答．
18.本小题分
是等差数列的前项和，数列满足，，．
求数列的通项公式；
设数列的前项和为．
求；
若集合且，求集合中所有元素的和．
19.本小题分
数列的前项和，已知，，为常数．
求常数和数列的通项公式；
数列的前项和为，证明：
参考答案
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14.
15.由得，
，
所以数列为首项为，公比为的等比数列．
由得，则，
．

16.设的公差为．
因为，，为等差数列，
所以，，成等差数列，
则，解得，
故．
因为，，
所以．
设的前项和为，
则

17.若选，因为数列中，，所以数列为等比数列．
设的公比为，则，由题意得，
又，可得，即，
则有，
因为 ，解得，故 ；
若选，因为，所以．
所以 ．
当时，有 ，且，．
所以数列是首项，公比的等比数列，所以；
若选，由 ，
所以 ，所以．
当时， ，所以
所以，数列为以首项，公比的等比数列，所以；
由可知：数列满足，
数列的前项和，则，
两式相减可得：，所以
不等式，
注意到数列为递增数列，当为偶数时，， 取，可得；
当为奇数时， ，取，可得．
综上，实数的取值范围是．

18.当时，，
所以，解得，
当时，，
所以，解得，
则，
所以，，
则；
；
，
当为偶数时，，
所以当为偶数时，恒成立，
当为奇数时，
，
令，
又函数在上单调递增，且，，
所以，
所以集合中所有元素的和为．

19.由得，，
两式相减的，整理得，
当时，得，，
当时，，
，，，
相加得，
所以，，
当，时符合，
所以，
则，，
则，即．
由得，
所以，
因为，，
所以，
综上可得，．

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