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2025-2026学年江苏省苏州市吴江区震泽中学高二上学期9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过两点的直线的倾斜角为，则的值为 ．
A. 或 B. C. D.
2.已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.数列满足，，则( )
A. B. C. D.
4.若点在曲线上，记数列的前项和为，则( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列的公差不为，设为其前项和，若，则集合中元素的个数为( )
A. B. C. D.
6.在等差数列中，，且，，成等比数列，则的通项公式为( )
A. B.
C. 或 D. 或
7.若为等差数列的前项和，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列满足：，则以下说法正确的是( )
A. 数列为单调递减数列 B.
C. D.
10.已知是数列的前项和，，，则 ．
A. 是递增数列 B. C. D.
11.在数列中，如果对任意都有为常数，则称为等差比数列，称为公差比下列说法正确的是( )
A. 等差数列一定是等差比数列
B. 等差比数列的公差比一定不为
C. 若，则数列是等差比数列
D. 若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列满足：为正整数，则 ．
13.已知数列，则通过该数列图象上所有点的直线的斜率为 ．
14.若为等差数列的前项和，，则与的等比中项为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，，当时，；是等差数列，．
求的通项公式；
记，求．
16.本小题分
已知为等差数列，，记分别为数列的前项和，．
求的通项公式；
对任意，将数列中落入区间内项的个数记为，求数列的前项和．
17.本小题分
对任意的正整数，数列满足，且．
求，；
证明：是等差数列；
设数列的前项和为，求使的最小正整数的值．
18.本小题分
若数列满足，则称数列为“平方递推数列”已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数．
证明：数列是“平方递推数列”；
设，数列的前项和为
求；
若恒成立，求实数的最大值．
19.本小题分
已知非零等差数列的前项和为，且，．
求的通项公式；
已知正项数列满足：，且是和的等差中项，求数列的前项和；
在条件下，记正项数列的前项和为求证：．
参考答案
1.
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13.
14.
15.当时，由，得，
因为，所以是首项为，公比为的等比数列，故，即，
当时，，又时，也满足，所以，
设公差为，由，，得，解得，故．
时，由、可知，
两边乘得，
两式相减，可得，
所以，又也满足通项，
故．

16.设等差数列的首项为，公差为．
因为
所以，
因为，
所以
整理得，解得
所以的通项公式为．
对，若，则，
因此，即，
故得，
于是
．

17.由题意得，，算得，．
由，
得，
记，则
得，，所以数列是首项为，公差为的等差数列．
故是等差数列．
由得，即
，
所以，，，，．
所以，即．
因此，
解得，故使的最小正整数的值为．

18.由题知，，
即，
当时，，
所以，
所以数列是“平方递推数列”．
由知，数列是“平方递推数列”，且，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
两式相减得，
，
则，
当时，，符合上式，
当时，，符合上式，
所以．
由知，，
则，
所以恒成立，
可得恒成立，
即，即，
令，则，
所以，
当且仅当，即时，取等，
所以，即实数的最大值为．

19.设等差数列的公差为，因为，
由，得，
当时，由，得，
得，得．
所以，所以．
因为是和的等差中项，所以，又，
所以，得，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即；
令，可知，
因为，
所以，
两式相减得，
所以．
由可得，由于，
所以．
因为，所以，
当时，，
综上，成立．

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