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2025-2026学年江苏省南京市第十三中学高二上学期10月学情检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.椭圆的焦点的坐标为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知圆的半径为，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为( )
A. B.
C. D.
4.圆与的公共弦长为( )
A. B. C. D.
5.已知的顶点坐标为，，，则角的内角平分线所在直线方程为( )
A. B. C. D.
6.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分包括边界的动点则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知圆，为圆内一点，将圆折起使得圆周过点如图，然后将纸片展开，得到一条折痕，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为( )
A. B. C. D.
8.瑞士数学家欧拉在三角形的几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，，，若直线：与的欧拉线平行，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于直线以下说法正确的有( )
A. 的充要条件是 B. 当时，
C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为
10.已知，，动点满足，记的轨迹为，若过点的直线与交于，两点，直线与的另外一个交点为，则( )
A. 的面积的最大值为
B. ，关于轴对称
C. 当时，
D. 直线的斜率的取值范围为
11.月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点，与半椭圆交于点，则下列结论正确的是( )
A. 椭圆的离心率是
B. 的周长存在最大值
C. 线段长度的取值范围是
D. 面积的最大值是
三、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.本小题分
一束光从光源射出，经轴反射后反射点为，射到线段上处．
若，求光从出发，到达点时所走过的路程；
若，求反射光的斜率的取值范围；
若，求光从出发，到达点时所走过的最短路程．
13.本小题分
已知圆与直线相切于点，圆心在轴上．
求圆的标准方程；
若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程；
过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.【详解】关于轴的对称点，，
由，则此时，
所以光所走过的路程即．
对于线段，令其端点，
则，
所以反射光斜率的取值范围是．
若反射光与直线垂直，则由．
当，即时，光所走过的最短路程为点到直线的距离，
所以路程．
当，即时，光所走过的最短路程为线段，其中，
所以．
综上：．

13.【详解】由题可知，设圆的方程为，圆心为，
由直线与圆相切于点，
得，解得，
所以圆的方程为；
设圆心到直线的距离为，
，，．
当直线斜率不存在时，，满足到直线的距离；
当直线斜率存在时：设方程：，即，
，整理得，解得，
，即，
综上：直线的一般式方程为或；
由题意知，，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
由，得，
解得或，则点的坐标为，
又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为，
由题可知：，
，
又，同理，
，
当且仅当时等号成立，
的最大值为．
【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：
几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值或值域，常用方法：配方法；基本不等式法；单调性法；三角换元法；导数法等，要特别注意自变量的取值范围．

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