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2025-2026学年江苏省南京市第五高级中学高二上学期10月学情调研数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.设为实数，已知直线，，若，则( )
A. B. C. 或 D. 或
3.设，则( )
A. B. C. D.
4.过圆上一点作圆的切线，则的方程是( )
A. B. C. D.
5.已知圆与圆相外切，则的值为( )
A. B. C. D.
6.直线经过点，斜率为，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是( )
A. B. 或 C. 或 D. 或
7.已知圆锥的母线长为，轴截面面积为，则圆锥的侧面积为( )
A. B. 或 C. D. 或
8.已知圆和圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量为
10.若复数，则( )
A. B. 在复平面内对应的点位于第四象限
C. D. 复数满足，则的最大值为
11.点在圆上，点，点，则下列结论正确的是( )
A. 过点可以作出圆的两条切线
B. 点到直线距离的最大值为
C. 圆关于直线对称的圆的方程为
D. 当最大时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.点到直线：为任意实数的距离的最大值为 ．
13.从分别写有的五张卡片中任取两张，则抽到的两张卡片上的数字之和是的倍数的概率为 ．
14.已知点，若圆上存在点使得，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角的对边分别为，已知．
求；
若，且的面积为，求的周长．
16.本小题分
已知直线经过点．
若直线在轴和轴上的截距互为相反数，求直线的方程写成一般式；
若直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程写成斜截式．
17.本小题分
如图，在正三棱柱中，是棱上的点不与点重合，．
证明：平面平面；
若，求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，设顶点坐标分别为，，，，，圆为的外接圆．
求圆的方程；
直线过点与圆相交于两点，，求直线的方程；
若圆上存在点，满足，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知圆：与直线交于、两点，点为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为．
求的值及的面积；
若圆与轴交于、两点，点是圆上异于、的任意一点，直线、分别交：于、两点当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由．
参考答案
1.
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12.．
13.
14.
15.【详解】在中，由及正弦定理，得，
而，则，即，
化简得，又，所以．
由及三角形面积公式，得，解得，
由余弦定理得，
所以的周长为．

16.【详解】当直线的截距为时，该直线方程为；
当直线的截距不为时，设该直线方程为：，
则，解得，因此直线方程为：．
所以直线的方程为或．
依题意，设直线方程为：，则，
，解得，当且仅当，即时取等号，
因此三角形面积，即当时，三角形面积取得最小值，直线方程为，
所以所求直线方程为．

17.【详解】证明：在正三棱柱中，平面，
因为平面，所以．
又，，，平面，
所以平面．
又因为面，
所以面面．
在平面中，作于点．
由可知平面，
因为平面，所以，
又，，平面，
所以平面．
因此为与平面所成的角．
因为在正三棱柱中，为正三角形，
由平面，平面，得，
所以为的中点，．
在中，，即，
所以与平面所成角的正弦值为．

18.【详解】设圆的一般方程为，
将、、三点坐标分别代入方程可得
解得，所以圆的一般方程为，整理为标准方程为．
已知圆的方程为，则圆心，半径，
设圆心到直线的距离为，所以，解得，
分两种情况讨论直线的斜率，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，满足，所以是直线的一个方程；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离，
解得，所以直线的方程为，整理得；
综上，直线的方程为或．
设的坐标，因为，
所以，
整理得，，
所以点在以为圆心，为半径的圆上，
又因为点在圆，所以两个圆有公共点，
故有，
解得．


19.【详解】由题意可知直线的方程为，
则联立与可求出点坐标为，
又因点为线段的中点，所以可得，
即，所以可得，
由可知圆心，所以到直线的距离，
又因圆半径为，根据勾股定理可求得，
所以线段，
又因原点到直线距离为，所以线段上的高为，
所以．
由圆与轴交于两点，得，
不妨设直线的方程为，其中，
在直线的方程中，令，可得，
因为，则直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
则线段的中点为，圆的半径平方为，
所以以线段为直径的圆的方程为，
即，由，解得
因此当点变化时，以为直径的圆恒过圆内的定点．
第7页，共8页

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