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2025-2026学年湖南省衡阳市新民中学高一上学期第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题，则为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.若集合，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.下列命题中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若且，则
5.已知，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.已知集合，已知，若，则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
7.已知实数满足，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.几何原本中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 集合与集合是同一个集合
B. 若，，则
C. 若，则函数的最小值为
D. 集合，，若，则的值为或
10.已知正数、，满足，则下列说法正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则( )
A.
B.
C. 的解集为
D. 的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.关于的不等式的解集为 ．
13.若命题“，”是真命题，则实数的取值范围为 ．
14.定义集合运算：已知集合，则集合有 个真子集．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集，集合．
求；
如图阴影部分所表示的集合可以是 把正确答案序号填到横线处，并求图中阴影部分表示的集合；

16.本小题分
已知，：，实数满足．
若是真命题，求实数的取值范围；
若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
17.本小题分
数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本单位：万元由两部分构成：固定成本：万元；材料成本：万元，为每月生产人形机器人的个数．
该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？
若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于万元？附：利润售价销量成本．
18.本小题分
求关于的不等式的解集；
设集合，，若求实数的取值范围．
19.本小题分
若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“相依方程”问题解决：
在方程，，中，请写出不等式组的“相依方程”序号，并说明理由；
若关于的方程是一元二次不等式的“相依方程”，求符合条件的的最大整数值；
若关于的方程是关于的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组恰有个整数解，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：因为，
所以
根据韦恩图确定阴影部分所表示的集合为：，
或，所以．

16.解：令，当时，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立．
是真命题，，即．
因此，实数的取值范围是；
令
是的必要不充分条件，，所以，，解得．
因此，实数的取值范围是．

17.解：设平均每个人形机器人的成本为万元，根据题意有
，
当且仅当，即时取等号．
所以该企业每月的产量为个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为万元．
设月利润为万元，则有，
由题知，整理得，解得．
所以该企业每月生产不小于个人形机器人，才能确保每月的利润不低于万元．

18.解：由，得，
当时，得，则，
当时，得，则，
当时，得，则，
综上知，当时，不等式的解集为：，
当时，不等式的解集为：，
当时，不等式的解集为：．
，由，得，
当时，则，解得，
当时，则，解得，
当时，则
得，此时，
当时，则，解得，
综上知，实数的取值范围为：

19.解：方程的解为，方程解为，方程解为，
而不等式组的解为，故仅有方程的解符合，选填；
关于的方程可解得，而一元二次不等式可化为，
解得代入方程的解可得：，，即符合条件的的最大整数值为；
解方程得，
解不等式组得，
不等式组有个整数解，令个整数为，
则有
则有，解得，又为整数，，
可化为
又，由“相依方程”可得：，解得；
综上所述，的取值范围为．

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