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2025-2026学年河南省驻马店市第一高级中学等校高二上学期10月质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点，，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
2.已知方程表示一个圆，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.直线在坐标轴上的截距之和为( )
A. B. C. D.
4.圆上任意一点到直线的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
5.一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为( )
A. B. C. D.
6.在平面直角坐标系中，过点的直线与轴，轴的正半轴分别交于，两点，则面积的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知点在圆上，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.若圆上总存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能为( )
A. B. C. D.
10.下列四个命题中正确的是( )
A. 向量是直线的一个方向向量
B. 直线与直线之间的距离为
C. 若直线与直线相互垂直，则实数的值为或
D. 直线的倾斜角的取值范围是
11.过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则( )
A. 当为等边三角形时，
B. 的最小值为
C. 的最小值为
D. 直线过定点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线，，若，则 ．
13.已知，两点到直线的距离相等，则 ．
14.已知点，是圆上位于第三象限内的不同两点，，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线经过点，分别求出满足下列条件的直线的方程．
与直线垂直；
在轴上的截距为；
在坐标轴上的截距相等．
16.本小题分
已知圆经过，，．
求圆的方程；
过点的直线与圆交于，两点，若，求直线的方程．
17.本小题分
已知直线的方程为．
求直线过定点的坐标；
当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？
18.本小题分
已知圆，圆．
判断圆和圆的位置关系；
求圆心在直线上，且与圆和圆都相外切的圆的方程；
求圆和圆的公切线的方程．
19.本小题分
已知圆的圆心与圆的圆心关于直线对称．
求圆的标准方程；
若直线交圆于，两点，点，证明：当不断变化时，轴始终平分；
设为圆上任意一点，过点作圆的切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.【详解】，因此直线的斜率为，
因此直线的斜率为，
所以直线的方程为；
因为直线在轴上的截距为，
所以设直线的方程为，把代入方程得，
因此直线的方程为；
因为直线在坐标轴上的截距相等，
所以设直线在坐标轴上的截距为，
当时，设直线的方程为，把代入方程得，
此时直线的方程为，
当时，设直线的方程为，把代入方程得，
此时直线的方程为，
因此直线的方程为，或．

16.【详解】设圆的一般方程为，其中，
把点，点，点的坐标代入圆的一般方程中，得
所以该圆的一般方程为；
过点的直线不存在斜率时，方程为，代入中，
得，显然只有一个交点，不符合题意；
当过点的直线存在斜率时，方程设为，
，圆心坐标为，半径为，
因为，且半径为，
所以圆心到直线的距离，
于是由点到直线距离公式，得或，
所以方程为，或．

17.【详解】直线的方程可化为，
联立方程组，解得，
所以直线过定点的坐标为．
当与直线垂直时，点到直线的距离最大，
因为直线的斜率为，直线的斜率为，
所以，解得，即的方程为，
则点到直线的最大距离为，
故当时，到直线的距离最大，最大距离是．

18.【详解】圆的圆心为，半径为，
圆，圆心为，半径为，
因为，
所以圆和圆外离；
设圆心在直线上，且与圆和圆都相外切的圆为圆，
因此圆的半径为，
直线的方程为，设圆的坐标为，
由，负值舍去，
圆的方程为
当两圆的公切线不存在斜率时，设直线方程为，
所以有，即公切线方程为；
当两圆的公切线存在斜率时，设直线方程为，
所以有，或
当时，有，代入中，
得，，或，
当时，，此时公切线方程为；
当时，
此时公切线方程为；
当时，有，代入中，，
解得，
此时公切线方程为，
所以公切线方程为，或，或，或．


19.【详解】解：由圆，可得圆的圆心为，半径为，
又由圆，可得圆心为，半径为，
因为圆心与圆心关于直线对称，
可得，解得，
所以圆的标准方程为．
证明：设，，且，
联立方程组，整理得，
则，且，，
则，
所以当不断变化时，轴始终平分．
解：假设存在定点，使得为定值，设，，，
因为点在圆上，所以，则，
因为为圆的切线，所以，
所以，，
所以，
整理得，
若使对任意恒成立，则，可得
代入整理得，解得或，
所以或，
所以存在定点，此时为定值或存在定点，此时为定值．

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