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紫荆中学2025-2026学年第一学期10月份阶段性检测
高二 数学
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有1个正确答案.）
1．已知复数满足(为虚数单位)，则=（ ）
A． B． C． D．
A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．
C．命题“使得”的否定是：“均有”．
D．“”是“”的必要不充分条件．
3．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
5．经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
6．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．若数列满足，其前项和为，若，则（ ）
A．0 B．1 C．5 D．11
8．已知点，若直线与线段AB相交，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③，则下列说法正确的是（ ）
A．的单调递增区间为 B．
C．若，则 D．若，则
10．将函数y＝4sin x的图象向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，得到函数y＝的图象，下列关于y＝的说法正确的是（ ）
A．y＝的最小正周期为4π
B．由＝0可得x1－x2是π的整数倍
C．y＝的表达式可改写成＝4cos
D．y＝的图象关于中心对称
11．如图，在正四棱柱中，，，E为棱上的一个动点，则（ ）
三棱锥的体积为定值
C．存在点E，使得平面
D．存在点E，使得平面
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．请将答案写在横线上．）
12．若直线与平行，则与的距离为 .
13．已知正数满足且有解，则实数m的取值范围是 .
14．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，每射击一次，命中目标得2分，未命中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为．假设甲、乙两人射击互不影响，则两人各射击一次得分之和不少于2的概率为 ．
四、解答题（本题共3大题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算．）
15．(13分)已知分别为三个内角的对边，且．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求．
16．(15分)记数列的前n项和为，已知，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
17．(15分)设直线的方程为
(1)若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
(2)若直线交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线的方程.
18．(17分)如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是矩形，四边形是平行四边形，且，，，以为直径的圆经过点F．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值．
19．(17分)某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有n人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值，并根据频率分布直方图，估计这n人的平均年龄和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率.试卷第1页，共3页
紫荆中学2025-2026学年第一学期10月份阶段性检测
高二 数学
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B B A B B D C
题号 9 10 11
答案 AD CD ABC
12．/
13．
14．/
15．(1)；
(2)或
【分析】（1）根据正弦定理实现边角转化，结合两角和的正弦公式、辅助角公式进行求解即可；
（2）根据余弦定理和三角形面积公式进行求解即可.
【详解】（1）因为，
所以，
，
，
，
因为，所以，
即，所以，
因为，所以，
所以有，所以；
（2）因为，且的面积为，
所以有，或.
16．(1)
(2)
【分析】（1）由化简条件可得数列是公差为3的等差数列，利用等差数列通项公式求解即可.
（2）利用分组求和裂项相消求和即可.
【详解】（1）由已知，，即，即，所以数列是公差为3的等差数列
因为，则
因为，所以的通项公式是.
（2）因为，则
因为，则
所以.
17．(1)或.
(2)
(3)面积的最小值是6，此时直线l的方程为
【分析】
（1）根据直线过原点、直线与不过原点两种情况进行分类讨论，由此求得直线的方程.
（2）将直线方程化为斜截式，再结合不经过第二象限列不等式组，解不等式组求得实数的取值范围.
（3）根据两点的位置确定的坐标以及的取值范围，求得面积的表达式，结合的取值范围，结合基本不等式，求得面积的最小值与此时直线l的方程.
【详解】（1）当直线过原点时满足条件，此时,解得,化为.
当直线不过原点时，则直线斜率为-1，故,解得,可得直线的方程为:.
综上所述，直线的方程为或.
（2）令,解得,解得;
令,解得,解得或.
综上有.
∴
,
当且仅当时取等号.
∴(为坐标原点)面积的最小值是6，此时直线方程，即
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）依题意可得，再由面面垂直的性质得到平面，即可得到，从而得到平面，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）因为以为直径的圆经过点，所以．
因为四边形为矩形，所以，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面．
因为平面，所以，
又因为平面，平面，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
（2）过F作FMAB,垂足为M，连接DM,则MDF为直线与平面所成角，解直角三角形，得直线与平面所成角的余弦值为．
19．(1)，平均年龄为31.75；中位数为31
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图频率的性质即可求出，再利用平均数和中位数的公式即可求解；
（2）列举出所有的情况，再根据古典概型公式可得.
【详解】（1）由题意有：，解得，
设这n人的平均年龄为，
则由于前2组的频率为，
前3组的频率为，
则中位数在，设中位数为，
则，解得，则中位数为31.
（2）由题意得，按照分层抽样第四组应抽取人，记为（甲），，，，
第五组抽取人，记为（乙），，
对应的样本空间的样本点为：
，共包含15个等可能的样本点，
设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”，
则，共包含9个等可能的样本点，
所以.
即甲、乙两人至少有一人被选上的概率为.

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